数学归纳法(复习课)VIP免费

主讲:郭德超知识点复习•区别归纳法和数学归纳法•数学归纳法原理是什么?如果关于自然数n的一个命题p(n)满足下列条件(1)p(n0)成立,即当n=n0(例如n0=1)时,命题成立;(2)假设p(k)成立,则p(k+1)也成立;根据(1)(2)知p(n)成立•用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题的步骤是怎样的?知识点复习•4.对数学归纳法实质的理解例.下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程.你认为他的证法正确吗?为什么(1).当n=1时,左边=,右边=(2).假设n=k时命题成立即那么n=k+1时,左边=右边,即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.1)1(211)2111()3121()211()2)(1(1321211kkkkkkk知识点复习•对数学归纳法实质的理解数学归纳法证题的这两个步骤,第一个步骤是命题递推的基础,第二个步骤是命题推理的根据,二者缺一不可.其中第二步是数学归纳法的核心,在从n=k到n=k+1的递推过程中,必须要运用归纳假设,这是数学归纳法证题的本质特征.如若在此过程中,没有运用归纳假设,不论形式上多么相似,也不能称此证明方法为数学归纳法.由于数学归纳法包含两个步骤一个结论,故最后应完整地写出结论.数学小常识•德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象：任何大于5的整数,都可以表示为三个质数的和,他猜想这个命题是正确的,但他本人无法给予证明.1742年6月6日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉,欧拉经过反复研究,发现问题的关键在于证明任意大于2的偶数能表示为两个质数的和.于是,欧拉对大于2的偶数逐个加以验算,最后欧拉猜想上述结论是正确的。6月30日，他复信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。”这就是著名的哥德巴赫猜想.专项训练(归纳猜测)一.归纳、猜测：1.如图，把边长为1的正方形看作第一层壳，其面积为s1，在它外面再镶上面积为s2的第二层外壳，使之构成边长为1+2的正方形，再镶上为s3的第三层外壳，使之构成边长为1+2+3的正方形，依次下去，试猜测第n层外壳的面积s解:s1=1s2=(1+2)2－1=8s3=(1+2+3)2－9=27s4=(1+2+3+4)2－36=64…sn=(1+2+…+n)2－(n－1)2=n3专项训练(归纳猜测)•13=1•13+23=9•13+23+33=36•13+23+33+43=100•…•试猜测：•13+23+33+43+…+n3=(1+2+3+…+n)2=12=(1+2)2=(1+2+3)2=(1+2+3+4)2专项训练(归纳猜测)•古希腊学者用圆球堆成大大小小的一系列等边三角形：每一堆球数依次为1，3，6…，这种数叫做“三角形数”或简称“三角数”。著名的几何学家毕达哥拉斯曾对三角数作过专门的研究，并获得丰硕的成果，如果用tn表示第n个三角数，则由上图可知t1=1,t2=3,t3=6,…◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎…◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎(1)求t2－t1,t3－t2,t4－t3的值，并猜测tn－tn－1值。(2)求t1＋t2,t2＋t3,t3＋t4的值，并猜测tn－1＋tn值。解:(1)t2－t1=2;t3－t2=3;t4－t3=4;…tn－tn－1=n(2)t1＋t2=4;t2＋t3=9;t3＋t4=16;…tn－1＋tn=n2专项训练(对命题的理解)解析:令f(n)=（n＋1)＋(n＋2)＋…＋（n＋n）f(k)=(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋k)f(k＋1)=[(k＋1)＋1]＋[(k＋1)＋2]＋…＋[(k＋1)＋(k＋1)]=(k＋2)＋(k＋3)＋…＋(k＋k)＋(2k＋1)＋(2k＋2)f(k＋1)－f(k)=(2k＋1)＋(2k＋2)－(k＋1)=3k＋2用数学归纳法证明命题：(n＋1)（n＋2)…(n＋n)=2n×1×3×…（2n－1)的第二步中，n=k＋1时需证：解析:[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋(k＋1)]=2k＋1×1×3×…×[2(k＋1)－1]即:(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)=2k＋1×1×3×…×[2k＋1]•用数学归纳法证明（n＋1)＋(n＋2)＋…＋（n＋n）=的第二步中，n=k＋1时的等式左边与n=k时的等式左边的差等于专项训练kk+1•P(k)与p(k+1)的进和退在数学归纳法的第二步归纳推理中，由p(k)p(k+1)的过渡，有两种基本途径可寻:一、由p(k)向p(k+1)推证二、由p(k+1)倒退专项训练kk+1证明：（1）当n=1时，命题显然成立。(2)假设当n=k时,命题成立,即(k＋1)（k＋2)…(k＋k)=2k×1×3×…（2k－1)当n=k+1时,待证:(k＋2)（k＋3)…2k(2k+1)(2k+2)=2(k+1)×1×3×…（2k－1)(2k+1)据途径一:由p(k)出发，直接构造p(k+1)形式。...