数学归纳法2VIP免费

数学归纳法2一、复习回顾：什么是数学归纳法？对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立;【归纳奠基】（2）假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立.这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法【归纳递推】0nn验证时命题成立01nkknnk若时命题成立证明时命题也成立归纳奠基：归纳递推0nn命题对从开始所有的正整数都成立框图表示(1)第一步，是否可省略？不可以省略。(2)第二步，从n=k(k≥n0)时命题成立的假设出发，推证n=k+1时命题也成立。既然是假设，为什么还要把它当成条件呢？这一步是在第一步的正确性的基础上，证明传递性。想一想：.6)(5n:13整除能够被证明例Nnn.,665,1)1(:3命题成立整除显然能够被时当证明nnn,1.65,,)1()2(3时当整除能够被即命题成立时假设当knkkkkn6)1(3)5(k55133)1(5)1(3233kkkkkkkkk.6)(5,,)2(),1(.1,,6)1(5)1(,6)1(3,)1(,65333整除能够被即命题对一切正整数成立知由时命题成立当因此整除能够被从而整除能够被故是偶数而整除能够被由假设知Nnnnknkkkkkkkk特别提示:数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件.证明你的结论少个区域这些直线把平面分成多不共点任意三条其中任意两条都相交条直线平面上有例题?,,,:n下面用数学归纳法证明域数目为条直线把平面分成的区这样的解22)(:2nnnfn.1,2)1(,,1)1(时命题成立部分一条直线将平面分成两时当nfn.1,,1,1,1,22)(,)()2(2kkkkkkknkkkfNkkn也即使原区域数目增加原区域一分为二的其中每一段都把它所在段条直线截成即它被前面个不同交点条直线有条直线与前面第时当即有时命题成立假设当命题成立对任意正整数可知由命题成立时故当,,)2)(1(,122)1()1(243k1221)()1(222nknkkkkkkkkfkf补充练习：.2)(:,,,2个部分个圆把平面分成这求证不相交于同一点并且每三个圆都两点其中每两个圆都相交于个圆有nnnfnn命题成立时又个部分即一个圆把平面分成二时当证明,22,1,2)1(,1)1(:2nnnfn.)2)(1(.1,2)1()1(22)1(,2,22,2,,1,2)(,,)2(222命题成立可知对任意由时命题成立即当即块加因此这平面的总区域增块每条弧把原区域分成条弧而把它分成个点交于于是它与其它点又无三圆交于同一个圆中每个圆交于两点与前圆那么由题意知第个部分个圆把平面分成即命题成立时假设当Nnknkkkkkkfkkkkkkkkkfkkn1、用数学归纳法证明：1+2+22+…+2n-1=2n-1(nN*)∈证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。(2)假设当n=k时等式成立，就是1+2+22+…+2k-1=2k-1那么，1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k=2×2k-1=2k+1-1这就是说，当n=k+1时，等式也成立。因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何nN*∈都成立。练习：练习2．下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?(1).当n=1时,左边=,右边=(2).假设n=k时命题成立即那么n=k+1时,左边=右边,即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.212111)1(1321211nnnn211111)1(1321211kkkk1)1(211)2111()3121()211(kkkkk3、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3•…•(2n-1)证明：①n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等式成立。②假设当n=k((k∈N）时有：(k+1)(k+2)…(k+k)=2k•1•3•…•(2n-1),当n=k+1时：左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•=2k•1•3•…•(2k-1)(2k+1)•2=2k+1•1•3•…•(2k-1)•[2(k+1)-1]=右边，∴当n=k+1时等式也成立。由①、②可知，对一切n∈N,原等式均成立。（2k+1)(2k+2)k+1例2已知数列计算,根据计算的结果,猜想的表达式,并用数学归纳法进行证明....