一、引入问题1:今天早晨,据观察第一个到班的是女同学,第二个到班的也是女同学,第三个到班的还是女同学……于是得出:我们班里的学生都是女同学.一、引入问题2:从前,有个小孩叫万百千,他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天,他想先生一定是教“三”字了,并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论:“四”一定是四横,“五”一定是五横,以此类推,…从此,他不再去上学,家长发现问他为何不去上学,他自豪地说:“我都会了”。家长要他写出自己的名字,“万百千”写名字结果可想而知。”一、引入问题3:的值都是质数。取任何正整数时,结论:当都是质数的值如下:计算设)(151,131,113,97,83,71,61,53,47,43;151411010)10(;1314199)9(;1134188)8(;974177)7(;834166)6(;714155)5(;614144)4(;534133)3(;474122)2(;434111)1()10(,),2(),1(,,41)(22222222222nfnfffffffffffffNnnnnf一、引入167531953143111问题4:)()12(5312Nnnn结论:NoImage2)1(3211043216321321nnn已知一、引入3333321n9213310043213333363213332]2)1([nn3333321n)(]2)1([2Nnnn结论:问题5:多米诺骨牌效应1、第一张牌能倒下;2、假设第k张能倒下,则一定能压倒紧挨的第k+1张牌。二、概念形成一般地,设p(n)是一个与正整数相关的命题,如果:(2)在假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,可以推出当n=k+1时命题也成立。由(1)、(2)可知,命题p(n)对从n0开始的所有正整数都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。(1)证明当n取第一个值n0时命题成立;(验初值)(证递推)注意:两个步骤,一个结论,缺一不可!3333321n)(]2)1([2Nnnn时结论成立所以右式左式;,右式时,左式当1.1]221[11120nn]2)1([3212233330kkkkn时,即假设当,1时则当kn33333)1(321kk4)]1(4[1)(k)1(]2)1([2232kkkkk2]2)2(1)([kk时结论也成立所以1kn都成立结论对任意,综合Nn2100例题讲解例1:)(1)1(1321211Nnnnnn,等式均成立。)可知,对一切正整数)(由(时等式成立。即右边左边时,当时等式成立,即)假设当(右边,等式成立;,左边,右边时,左边)当(2111)1(121211)2111()3121()211(11)1(14313212112212111knkkkkkkkknkkkkknn用数学归纳法证明:证明:请你来批作业第二步的证明没有用上归纳假设!右边左边21)2)(1()1()2)(1(1)2()2)(1(112kkkkkkkkkkkkk2)1(6)12)(1(kkkk证明:1、当n=1时,左=12=1,右=∴n=1时,等式成立2、假设n=k时,等式成立,即那么,当n=k+1时左=12+22+…+k2+(k+1)2==右∴n=k+1时,原等式成立由1、2知当nN*时,原等式都成立16)12)(11(16)32)(2)(1(6)1(6)12)(1(2kkkkkkk6)12)(1(3212222kkkk6)12)(1(3212222nnnn例2.用数学归纳法证明(n≥2,n∈N)过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时,不等式左边的变化是():1.用数学归纳法证DD;)1(21)(kA;221121)(kkB;11221)(kkC.11221121)(kkkD2413212111nnn课堂练习)2)(1(31)1(433221nnnnn2.用数学归纳法证:3.法证明。的大小,并用数学归纳与比较)(22Nnnn课堂小结2.数学归纳法证题程序化步骤:两个步骤,一个结论;1.数学归纳法适用于与正整数有关的命题;3.在第二步的证明中,必须用到第一步的结论。作业:课本P72练习A1,2练习B14.在第二步的证明中,注意“两凑”——一凑假设,二凑结论。