数学归纳法(第一课时)pptVIP免费

2.3数学归纳法•问题1：在仪容仪表检查中，如何断定我们班的所有同学不戴耳环？·方法一：检查每位同学，确认每位同学不戴耳环。完全归纳法·方法二：检查部分同学，确认他们不戴耳环。不完全归纳法定义：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳法。元素个数无限多个（如与自然数有关的命题）完全归纳法不完全归纳法结论的正确性实际的可行性⑴用完全归纳法得到的结论正确吗？不完全归纳法呢？⑵如果一个问题中的元素有无限多个（如与自然数有关的命题），怎样归纳出其结论的正确性？：：问题问题22：：正确不一定正确不可行可行问题3：通过看视频发现多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？（1）、第一块骨牌倒下（2）、前一块骨牌倒下一定导致后一块骨牌倒下其通项公式为猜想，，已知对于数列,...),3,2,1(1111naaaaannnn思考：nan1这个猜想与多米诺骨牌游戏有没有相似的地方？多米诺骨牌数学命题证明目标每片骨牌倒下要求（1）第一片要倒下（2）若前片倒下，则后片也倒下结论由（1）（2）知游戏成功神奇的对比每个n值都成立（1）n=1时要成立（2）若n=k时成立则n=k+1时也成立由（1）（2）知命题成立一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按下列步骤进行：（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立;（2）假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立.由(1),(2)可知，命题对从n0开始的所有正整数都成立。这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法(归纳递推)递推的依据(归纳奠基)递推的基础例1.用数学归纳法证明6)12)(1(3212222nnnn步骤：递推基础不可少，（基础）归纳假设要用到，（依据）结论写明莫忘掉。（结论）例2：证明方法是否正确？为什么？66111∵n=1时，左边=1，右边==1∴等式成立66228n=2时，左边=1+3=4，右边==4∴等式成立663327n=3时，左边=1+3+5=9，右边==9∴等式成立从而可知，对n∈N等式都成立理由：因为是不完全归纳法，缺乏递推的依据，结论不可靠，即使验证了100个正确也是不严密的。解：等式成立。证明如下：66113nn⑴1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝⑵1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2＋1解：等式成立。证明如下：假设当n=k时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2＋1则当n=k+1时，1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋(2k＋1)＝k2＋1＋(2k＋1)＝(k＋1)2＋1∴当n=k+1时等式也成立∴对n∈N等式都成立理由：第一步没有证明正确，缺乏递推的基础，从而假设没有根据。⑴两个步骤缺一不可，因为①有第一步无第二步，就是不完全归纳法，结论就不可靠；②有第二步而无第一步，第二步中的假设就失去了基础。⑵第二步的证明n=k+1成立中必须用归纳假设，并且证明必须详细。思考：步骤(1)中n取的第一个值n0一定是1吗？为什么？答：不一定举例说明：用数学归纳法证明n边形的对角线的条数是32nn30n此时n取的第一值1、用数学归纳法证明3＋5＋…＋(2n－1)＝﹝n＋1n﹞﹝－1﹞时，第一步应验证n＝___时，等式成立。2⑴在验证n=1时，左端计算所得项为（）(A)1(B)1+2(C)1＋2＋3(D)1＋2＋3＋…＋2·1⑵则当n＝k＋1时，左端应在n＝k时的左端加上___________2、用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)时，B(2k+1)+(2k+2)2、数学归纳法：证明与自然数n有关的命题。今天我们学习了1、由特殊到一般的归纳思想。步骤：⑴证明当n取第一个值n0时命题成立⑵假设当n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。由⑴⑵可知,对n∈N(n≥n0)命题都成立两个步骤缺一不可练习：,)13(2311071741411nn）（，，，，已知数列行证明。纳法进的表达式，并用数学归想根据计算结果，猜计算nSSSSS,,,,4321证明：①当n=1时，左边＝,21右边＝,212111②假设n=k（kN*)∈时，等式成立，,2112121212132kk＋＋＋＋那么n=k+1时1322121212121kk＋＋＋＋等式成立这就是说，当n=k+1时，等式也成立根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立即211])21(1[211k.2111k第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求(4)：成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？（n∈N＊）nn2112121212132＋＋＋＋