数学归纳法及其应用（一）广州市第十七中学数学科龚斌孙请问：以上两个结论正确吗？为什么?得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点？问题1：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得a1＝1,a2＝1,a3＝1,猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。问题2：教师根据学生的成绩单逐一核实，得到结论“全班及格”。☺1、错，a5=25≠1；2、对。共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1是用的不完全归纳法，问题2是用的完全归纳法。结论：归纳推理未必正确，必须给予证明！归纳法｛完全归纳法不完全归纳法实验问题1、现在桌上立着许多小木块，我们当然可以一块一块地把它们全部推倒，但现在只允许推倒一块，你有什么办法做到使它们全部倒下吗？如果有办法，小木块应怎样摆？应先推倒哪一块？2、小木块全部倒下满足的条件：（1）第一块倒下；（2）若前一块倒下，则后一块也必倒下。3、满足条件1，不满足条件2，结果怎样？只满足条件2呢？多米诺骨牌演示要使骨牌全部倒下，需同时满足两个条件：1、第一张骨牌倒下（基础）；2、假设第K张骨牌倒下，保证第K+1张骨牌一定倒下（递推）。我们知道，有一些命题是和正整数有关的，如果这个命题的情况有无限种，那么我们不可能用完全归纳法逐一进行证明，而不完全归纳法又不可靠，怎么办？步骤：①（归纳奠基）验证当n取第一个n0时命题成立②（归纳递推）假设n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立。③根据①②得出对所有的正整数n命题成立。2.1数学归纳法原理例1用数学归纳法证明）（））（（Nnnnnn61213212222例2、数列{an}其通项公式为an=2n－1（n∈N）（1）试计算前n项和Sn中前4项：S1，S2，S3，S4；（2）猜测Sn=，并用数学归纳法证明。证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。请问：A、第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)==(k+1)2?为什么？21)](2k1)[1（kB、假设n=k(k∈N)时，等式成立，那么当n=k+1时是否成立？能否由此得出对一切n∈N，等式都立？21nn1)n(n1431321211②假设n=k(kN,k≥1)∈时等式成立,当n=k+1时：=Sk+[2(k+1)-1]=k²+2k+1=(k+1)²所以当n=k+1时等式也成立。由①和②可知，对nN∈，原等式都成立。即：Sk=k²n²Sk+1=Sk+ak+1Sk+1=(k+1)²3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。1、三个步骤却一不可:第一步是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为归纳基础。第二步是归纳递推，是推理的依据，是判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中“假设n=k时成立”称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。没有第一步，第二步就没有了意义；没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没有可靠性。第三步是总体结论，也不可少。1、用数学归纳法证明问题，三个步骤缺一不可。2、第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体，力求详细，不可随意省略，主要注意两个“凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设）二是“凑”目标式。小结数学归纳法的概念及应用（一）归纳法完全归纳法不完全归纳法数学归纳法可能错误，如何避免穷举法递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉知识小结
