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数学归纳法(1)VIP免费

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数学归纳法及其应用(一)广州市第十七中学数学科龚斌孙请问:以上两个结论正确吗?为什么?得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点?问题1:数列{an}的通项公式为an=(n2-5n+5)2,计算得a1=1,a2=1,a3=1,猜出数列{an}的通项公式为:an=1。问题2:教师根据学生的成绩单逐一核实,得到结论“全班及格”。☺1、错,a5=25≠1;2、对。共同点:均用了归纳法得出结论;不同点:问题1是用的不完全归纳法,问题2是用的完全归纳法。结论:归纳推理未必正确,必须给予证明!归纳法{完全归纳法不完全归纳法实验问题1、现在桌上立着许多小木块,我们当然可以一块一块地把它们全部推倒,但现在只允许推倒一块,你有什么办法做到使它们全部倒下吗?如果有办法,小木块应怎样摆?应先推倒哪一块?2、小木块全部倒下满足的条件:(1)第一块倒下;(2)若前一块倒下,则后一块也必倒下。3、满足条件1,不满足条件2,结果怎样?只满足条件2呢?多米诺骨牌演示要使骨牌全部倒下,需同时满足两个条件:1、第一张骨牌倒下(基础);2、假设第K张骨牌倒下,保证第K+1张骨牌一定倒下(递推)。我们知道,有一些命题是和正整数有关的,如果这个命题的情况有无限种,那么我们不可能用完全归纳法逐一进行证明,而不完全归纳法又不可靠,怎么办?步骤:①(归纳奠基)验证当n取第一个n0时命题成立②(归纳递推)假设n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立。③根据①②得出对所有的正整数n命题成立。2.1数学归纳法原理例1用数学归纳法证明)())((Nnnnnn61213212222例2、数列{an}其通项公式为an=2n-1(n∈N)(1)试计算前n项和Sn中前4项:S1,S2,S3,S4;(2)猜测Sn=,并用数学归纳法证明。证明:①当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立。请问:A、第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为:1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)==(k+1)2?为什么?21)](2k1)[1(kB、假设n=k(k∈N)时,等式成立,那么当n=k+1时是否成立?能否由此得出对一切n∈N,等式都立?21nn1)n(n1431321211②假设n=k(kN,k≥1)∈时等式成立,当n=k+1时:=Sk+[2(k+1)-1]=k²+2k+1=(k+1)²所以当n=k+1时等式也成立。由①和②可知,对nN∈,原等式都成立。即:Sk=k²n²Sk+1=Sk+ak+1Sk+1=(k+1)²3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设,否则就不是数学归纳法了。1、三个步骤却一不可:第一步是奠基步骤,是命题论证的基础,称之为归纳基础。第二步是归纳递推,是推理的依据,是判断命题的正确性能否由特殊推广到一般,它反映了无限递推关系,其中“假设n=k时成立”称为归纳假设(注意是“假设”,而不是确认命题成立)。没有第一步,第二步就没有了意义;没有第二步,就成了不完全归纳,结论就没有可靠性。第三步是总体结论,也不可少。1、用数学归纳法证明问题,三个步骤缺一不可。2、第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体,力求详细,不可随意省略,主要注意两个“凑”:一是“凑”n=k时的形式(这样才好利用归纳假设)二是“凑”目标式。小结数学归纳法的概念及应用(一)归纳法完全归纳法不完全归纳法数学归纳法可能错误,如何避免穷举法递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉知识小结

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