数学中常用极限方法总结VIP免费

【1】忽略高阶无穷小方法。很多极限看起来很复杂，而且也不好使用洛必达法则，但是如果忽略掉次要部分，则会很容易计算。比如，忽略掉比x低的无穷小项后为√x/√2x=1/√2再比如斐波那契数列，忽略掉[(1-√5)/2]^n的次要项后，可以求得lima(n+1)/a(n)=(1+√5)/2再比如lim(x->∞)(sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))当x->∞的时候sinx和cosx是sinh(x)和cosh(x)的高阶无穷小所以lim(x->∞)(sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))=lim(x->∞)sinh(x)/2Cosh(x)=lim(x->∞)(e^x-e^(-x))/2(e^x+e^(-x))=lim(x->∞)e^x/2e^x=1【2】取对数与洛必达法则洛必达法则是求极限的时候用的最多的方法，但是很多题目都会饶下弯子，需要先对代数式进行一些变形，否则计算起来会越来越烦，常见的的代换包括取对数，等价无穷小代换，省略高阶无穷小部分，在用完这些方法后，再使用洛必达法则，可以有效的解决这类问题。比如这个直接用等价无穷小代换后会因为损失了高阶无穷小导致结果不正确，取对数后就会化成容易计算的形式了lim(x->∞)x^2*ln(1+1/x)-x再做代换t=1/x=lin(t->0)(ln(1+t)-t)/t^2再用洛必达法则=lim(t->0)(1/(1+t)-1)/2t=-1/2所以原式极限为e^(-1/2)再比如tanx^(1/lnx)在x->0+的时候的极限这个极限是0^∞的形式直接取对数得ln(tanx)/lnx，现在是∞/∞的形式用洛必达法则得=x/(sinxcosx)=x/sinx*1/cosx=1所以tanx^(1/lnx)在x->0+的时候的极限为e【3】常用等价无穷小经常用到的等价无穷小有(1)tanx~sinx~acrsinx~arctanx~sinh(x)~acsinh(x)~x(x->0)(2)1-cosx~x^2/2(x->0)(3)e^x-1~x(x->0)(4)ln(1+x)~x(x->0)(5)(1+x)^a-1~ax(x->0)(6)e-(1+x)^(1/x)~ex/2(x->0)【4】极限存在准则有些极限问题直接计算很困难，但是合理地使用放缩，再利用极限存在准则，可以很容易的得到，这个方法在判别级数收敛，反常积分计算的时候更是经常用到。比如显然n/√(n^2+n)<∑1/√(n^2+i)0处的极限，这个可以使用多次洛必达求得，或提取sinx后用两个等价无穷小代换，也可以用tanx和sinx的级数代入求得=(x+x^3/3+O(x^4)-x+x^3/6+O(x^4))/x^3=1/2但如果要求[tan(sin(tan(sinx))))-sin(tan(sin(tan(x))))]/x^7(x->0)这个极限一般的方法就显得无助了，基本上只能使用泰勒级数来做tan(sin(tan(sinx))))在x=0处的幂级数展开为x+x^3/3+x^5/30-(13x^7)/210+O(x^9)sin(tan(sin(tan(x))))在x=0处的幂级数展开为x+x^3/3+x^5/30-(9x^7)/70+O(x^9)所以原式极限为1/15（当然这个幂级数的展开式的计算量会很大）再比如求(√(1+x)+√(1-x)-2)/x^2在x->0处的极限用泰勒公式就比较简单√(1+x)~1+x/2-x^2/8+O(x^3)√(1-x)~1-x/2-x^2/8+O(x^3)所以原式=(2-x^2/4-2+O(x^3))/x^2=-1/4经常可能用到的泰勒级数展开主要有正弦函数，余弦函数，正切函数，对数函数，指数函数，下面给出一个经常被问到的极限的级数展开(1+x)^(1/x)在x=0处的级数展开为e-(ex)/2+(11ex^2)/24+O(x^3)(1+1/x)^x在x=0处的级数展开为1-xlnx+(1+(lnx)^2)x^2+O(x^3)【6】中值定理有些极限用常见的方法处理比较困难，但是可以很容易的看出这是某个函数在两个很近的点处的割线的斜率或两个点之间的面积，那么这个时候可以考虑使用微分中值定理或积分中值定理。比如求sin(√(x+1)-sin√x在x->∞的时候的极限由微分中值定理知，存在x<ξ∞处的极限令f(x)=arctana/x那么...