第13章点的运动学与刚体的基本运动13.1点的运动学本节要点:例13.1杆AB绕A点转动时,带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动,已知(为常数)。求小环M的运动方程、速度和加速度。1ABMRO例6杆AB绕A点转动时,带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动,已知φ=wt(w为常数)。求小环M的运动方程、速度和加速度。解:建立如图所示的直角坐标系。则即为小环M的运动方程。2cos2sinRyRxtRytRx2cos2sintRxvx2cos2tRyvy2sin2ABMOxy2故M点的速度大小为Rvvvyx222其方向余弦为cos(,)cos2xvvvicos(,)sin2yvvvjxtRvaxx2242sin4ytRvayy2242cos4故M点的加速度大小为2224Raaayx且有2222444()4xyxyaijijrABMOxy2vxvyva2解2(用自然坐标法)8.3点的运动的自然法ABMRO杆AB绕A点转动时,带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动,已知(为常数)。求小环M的运动方程、速度和加速度。t解:建立如图所示的自然坐标。则点的自然坐标形式的运动方程为例3ABM2OstRRs2)2(速度为Rdtdsv2v加速度为0dtdva2224)2(RRRvana例13.2在曲柄摇杆机构中,曲柄与水平线夹角的变化规律为,设,,求B点的运动方程和时B点的速度和加速度。3例5-3、在曲柄摇杆机构中,曲柄OA与水平线夹角的变化规律为设求B点的运动方程和t=1s时B点的速度和加速度24t解:建立弧坐标cmOOOA101cmBO241Booo1B1OOv45naaB点的运动方程21243oBBOBts速度加速度tsv66sa23243622222ttsan4时st16v6a232na解法2直角坐标法(请同学们自己解答)228t4例13.3一点作平面曲线运动,其速度在x轴上的投影始终为一常数C。试证明在此情形下,点的加速度的大小为。其中v为点的速度的大小,ρ为轨迹的曲率半径。例4一点作平面曲线运动,其速度在x轴上的投影始终为一常数C。试证明在此情形下,点的加速度的大小为。其中v为点的速度的大小,为轨迹的曲率半径。Cva3xvanaM证明:设点沿图示曲线运动,速度和加速度如图。由已知条件得Cvcos(1)由于速度在x轴上的投影始终为一常数,所以0xa由于0sincosnxaaa所以tgaan5xvanaM例4cos1222nnnatgaaaa于是可得因为2van所以cos2va将(1)式代入上式得证毕。13.2刚体的基本运动本节要点:6例13.4荡木用两条等长的钢索平行吊起,如图所示,钢索长为,长度单位为,当荡木摆动时,钢索的摆动规律为,其中以计,试求当和时荡木中点的速度,加速度。5例6-1:荡木用两条等长的钢索平行吊起,如图所示。钢索长为长l,长度单位为m,当荡木摆动时钢索的摆动规律为,其中t为时间,单位为s;转角φ的单位为rad,试求当t=0和t=2s时,荡木的中点M的速度和加速度。t4sin0πt4sin0πABO1O2llM解:由于荡木AB的两钢索O1A和O2B的长度相等,且相互平行,所以,荡木作平移。点M的速度和加速度,与点A,或B相同。求导得A点的速度t4πcosl4πdtdsv0第六章刚体的简单运动4举例用弧坐标表示A点的运动,则运动方程为t4πlsins0再求导得A点的切向加速度t4sinl16tva02ππddtA点的法向加速度t4cosl16lva22022ππnABO1O2llMAvnAatAa6t=0和t=2两瞬时A点的速度和加速度,亦即点M的速度和加速度。列表如下:第六章刚体的简单运动00φ02(铅直向上)0(水平向右)00an(m·s-2)at(m·s-2)v(m·s-1)φ(rad)t(s)l20216πt4πcosl4πdtdsv0t4sinl16tva02ππddtt4cosl16lva22022ππnABO1O2llMAvnAatAa7例13.5已知:重物A的(常数)初瞬时速度方向如图示。求:①滑轮3s内的转数;②重物B在3s内的行程;③重物B在t=3s时的速度;④滑轮边上C点在初瞬时的加速度;⑤滑轮边上C点在t=3s时的加速度。〔例2〕已知:物体A和B以不可伸长的绳子分别绕在半径...