第1章解三角形(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．(2013·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝()A.B.C.D.解析：由余弦定理得AC2＝32＋2－2×3×cos⇒AC＝.再由正弦定理＝⇒sin∠BAC＝.答案：C2．在△ABC中，若a＝7，b＝8，cosC＝，则最大角的余弦是()A．－B．－C．－D．－解析：由c2＝72＋82－2×7×8×，得c＝3，∴B是最大角，cosB＝＝－.答案：C3．△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积为()A.B．2C.＋1D.(＋1)解析：由正弦定理，得＝，解得c＝2，∴△ABC的面积S＝ac×sinB＝×2×2×sin105°＝2(sin60°cos45°＋cos60°sin45°)＝2＝＋1.答案：C4．已知三角形的两边之差是2，这两边夹角的余弦值为，且这个三角形的面积为14，那么这两边的长分别为()A．3,5B．4,6C．6,8D．5,7解析：设三角形的两边为a，b，夹角为α，由cosα＝可知，sinα＝，由三角形面积公式，得ab×＝14，得ab＝35，观察选项知选D.答案：D5．(2013·辽宁卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，又asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a＞b，则∠B＝()A.B.C.D.解析：由正弦定理得，sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB，即sinAcosC＋cosAsinC＝⇒sin(A＋C)＝，亦即sinB＝，又a＞b，∴B＝.答案：A6．在△ABC中，三边长AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB·BC的值为()A．19B．－14C．－18D．－19解析：AB·BC＝|AB|·|BC|·cos〈AB，BC〉＝|AB|·|BC|·cos(π－B)＝－|AB|·|BC|·cosB＝－|AB|·|BC|·＝－＝－19.答案：D7．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于()A.B.C.D.解析：由大边对大角知A＝75°，故边a最长，边b最短，由正弦定理＝，得b＝.答案：A8．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为()A．90°B．120°C．135°D．150°解析：求最大、最小角之和即求中间角大小，由余弦定理知，cosB＝＝，∴B＝60°，即最大角、最小角之和为A＋C＝180°－B＝120°.答案：B9．在△ABC中，A＝60°，且最大边长和最小边长是方程x2－7x＋11＝0的两个根，则第三边的长为()A．2B．3C．4D．5解析： A＝60°，∴第三边即为a，又b＋c＝7，bc＝11，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc＝72－3×11＝16，∴a＝4.答案：C10．在某海域，一货轮航行到M处，测得灯塔P在货轮的北偏东15°并与灯塔P相距20nmile，随后货轮按北偏西30°方向航行30分钟，又测得灯塔P在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A．20(＋)nmile/hB．20(－)nmile/hC．20(＋)nmile/hD．20(－)nmile/h解析：如右图，由题意可知，∠M＝15°＋30°＝45°，∠N＝60°＋45°＝105°，故知∠P＝30°，由正弦定理，得＝，∴MN＝＝＝10(－)，故知速度为20(－)nmile/h.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝2，b＝3，cosC＝，则其外接圆半径为________．解析： c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋9－2×2×3×＝9，∴c＝3，sinC＝＝，∴R＝＝.答案：12．在△ABC中，A、B、C是三个内角，C＝30°，那么sin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC的值是________．解析：sin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC＝×(a2＋b2－2abcosC)＝×c2＝sin2C＝＝.答案：13．三角形的一边为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为________．解析：设另外两边分别为8x、5x，由余弦定理，得cos60°＝，解得x2＝4，S△ABC＝×8×5x2×sin60°＝40.答案：4014．(2013·安徽卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a，且3sinA＝5sinB，则角C＝________.解析：由3sinA＝5sinB⇒3a＝5b，又b＋c＝2a⇒b＝a，c＝a，∴cosC＝＝－，∴C＝.答案：三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)15．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，AB·AC＝3.(1)求△ABC的面积；解析：(1)cosA＝2cos2－1＝2×－1＝，∴sinA＝，AB·AC＝bc×＝3.∴bc＝5.故面积S＝bcsinA＝×5×＝2.(2)若c＝1，...
