第二讲三角恒等变换本专题涉及到的知识点是两角和差的正余弦、正切公式；二倍角公式．正用、逆用、创造条件使用公式是解题的关键，涉及到三种主要的变换：角变换、函数名称的变换、运算方式的变换．A类例题例１已知都是钝角，且．求．分析实施角变换：，角变换是三角函数中最重要的一种变换．解由都是钝角知，．若，则均为锐角，且．由此得与角是钝角矛盾，故只有，所以．从而．[来源:Z。xx。k.Com]说明抓住了角变换就明确了解题的方向，本题容易产生的失误是解的个数．例２已知，求的值．分析变形的方法是化弦处理和抓住公式结构逆用公式．解由得，另一方面，所以．说明抓住公式结构是逆用和创造条件用好公式的前提，类似的问题在三角函数中很多，如求值：，在此问题中要抓两点，第一是与蕴涵在两角和的正切公式结构中，第二是角关系．由展开整理即得其值为．例３已知，求，．分析本题的解法很多，现用角变换求解．解由已知条件有[来源:学科网ZXXK]．同理．联立求出．情景再现１．已知，求证：．２．求的值．３.求值：．B类例题例４已知是锐角，是钝角，且成等差数列，求的值．（２００１年上海市数学竞赛）分析化弦降次和运算方法变换．解由条件化弦得，，，，，，即，由是锐角，是钝角得．例５设，求证：是成立的充要条件．（２００５年第１５届希望杯数学赛）分析运用公式直接展开．解法一充分性是显然的，下面证必要性．由得即化简得，即，由得．解法二构造三角形求解．构造，则，因为，即，即，从而知，即．例６求的值．（１９９１年全国高中联赛）分析本题的基本方法是降次、和差化积，从结构特征构造求解．解法一注意，且三角式是关于对称的，所以可以构造二元对称代换求值．设，则，，所以原式．解法二利用，构造对偶模型求解．设，，则，从而求出．说明三角式的结构特征分析在解题中的作用很大，往往能揭示问题的本质．本题也可以通过构造三角形等其它方法求解．例７求的值．分析从基本方法和构造法两个角度求解．解法一（和差化积逆用公式）＝，分子分母同乘，连续两次逆用二倍角公式得其值为．解法二（构造对偶式求解）设，．约去得．解法三（自身代换构造方程求解），平方．得方程，从而解得．解法四（构造同形方程）设，则同时满足该同形方程．由二倍角公式得二次方程，这表明是方程的两根，而且是全体根，由根与系数的关系得．情景再现４．求证：．５．已知，且满足：．求的值．C类例题例８化简．分析从结构特征入手，由于每个乘积项中的两个角相差都是，从两角差的正切公式化简入手．解由，变形得，其中．从而原式．例９求证：．分析构造方程求解．解由知是方程的根．设．则，即．令，对展开整理得由是上述方程的三个根，那么是方程的三个根，由根与系数的关系得，开方即得．例１０若均是整数（其中），且使得，求的值．分析角变换，使得为完全平方．解所以，．情景再现6．已知为整数，且满足．求出的所有可能值．7．设，且．求证：．[来源:学#科#网Z#X#X#K]习题１．已知和是方程的两个根，求证．２．已知求的值．３．已知是锐角，，求的值．４．求值：．５．已知①②,其中.求证:.６．求函数的最小值．[来源:学_科_网Z_X_X_K]７．已知（其中均不等于）．求的值．８．已知，且，求角．９.证明:.１０.证明:对任一自然数及任意实数为任一整数,有.１１.设是锐角,且.求证:.１２．已知，．求证：对任意的，恒有．本节“情景再现”解答：[来源:学科网]１．解角变换．由得即即．２．解逆用公式和角关系．原式．３．解角变换．原式．也可以变换运算方式积化和差．４．解左右两边同时化弦．左边．而右边．所以等式成立．５．解基本方法降次消元．由降次化简得，①再由得，②由①②两式平方相加消去角，求得代入①中求得．即，由得6．解由三倍角公式有，从而，即，又所以，即满足条件．假设存在另外一组满足条件，则，解出，从而是有理数．设代入，整理得，于是，由知，故又，所以此时，，只能有，即矛盾,因此满足条件的是唯一的．7．解构造直角三角形．，则由条件知,所以．所以，将其代入到中去，化简后即得证．习题”解答：１．解角变换和逆用公式．由根与系数的关系得所以...
