一校五题（通州中学提供）1．填空题（星级：三星，命题人：王新星）若函数，则．【解析】．由倒序相加法，得．2．填空题（星级：四星，命题人：曹兵）根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：从原点O出发，以匀速v(m/s)沿东偏北α(α为(0，)内的变量)方向或正北方向行走，且方向改变的时间不定．记机器人行走t(s)时的可能落点P的区域为Ω，则Ω的面积与(vt)2的比值为．【解析】如图，作以O为圆心，vt长为半径的四分之一圆，则Ω的区域为弧AB和弦AB围成的弓形区域（除去开线段AB及点B）．下证P落在弓形内，过P作OB的垂线，与弧AB、弦AB、OB交于D、C、E，作OQ使，交DC于Q．对于某个α的任何运动的轨迹相当于从O到Q，再从Q到P．当P在C的下方时（包括和C重合），OQ+QPOD=vt综上，P落在弓形内（除去开线段AB及点B），其面积为，则Ω的面积与(vt)2的比值为．3．填空题（星级：四星，命题人：王新星）已知三次函数在R上单调递增，则的最小值为．【解析】由题意≥0在R上恒成立，则，△≤0．第2题OQBACDPE∴≥令，≥≥3．（当且仅当，即时取“=”）4．解答题（星级：五星，命题人：王新星，审题人：薛国均）若正数数列满足，其中是数列的前n项和．（1）求．（2）若，是否存在？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，说明理由．【解析】（1）令，又，得．∵，即，∴，∴为等差数列，∴，∴．（2），则考虑函数（x≥1），则．令（x≥1），则≤0，∴在递减∵，，，∴x≥4时，≤，则，在递减；1≤x≤3时，≥，则，在递增．∴，即，∴，∵∴又，当n≠1时，．∴若存在两项相等，只可能是、与后面的项相等又，∴∵，∴数列中存在唯一相等的两项5．解答题（星级：四星，命题人：王新星，审题人：薛国均）数列、满足．求证：（1），；（2），奇数对，使得．【解析】（1）∴∴（2）①当时，取，显然成立．②假设当()，奇数对，使得．当，取，，则，由（1）知，．又∵，，均为奇数，可知、均为奇数．综合①②可知，奇数对，使得．【说明】第1题由2010年山东省初赛试卷第13题改编；第2题系原创；第3题由2010年河北省初赛试卷第11题改编，第4题系原创；第5题系《中等数学》2011第1期数学奥林匹克高中训练题（137）加试第三题改编．
