第三部分平面解析几何一、平面向量基本要求：理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。掌握向量的加、减运算。掌握数乘向量的运算，了解两个向量共线的条件。了解平面向量分解定理，掌握直线的向量参数方程。掌握向量的内积运算，了解内积运算的几何意义，了解内积运算在处理长度、角度及垂直问题的应用，了解向量垂直的条件。掌握向量的直角坐标及运算。掌握平面内两点间的距离公式及线段的中点公式。（一）向量的概念向量——既有大小、又有方向的量称为向量，记为或。向量的模——向量或的大小称为向量的模，记为或。零向量——模为零的向量称为零向量，记为，简记为0。单位向量——模为1的向量称为单位向量。向量相等——模相等且方向相同的向量称为相等向量。如、是两相等向量，则记为。两向量的夹角——向量、通过平移将其起点重合后，它们所在射线之间的夹角称为、的夹角，记为<，>。共线向量——如果向量、的夹角为0或，则称向量与向量共线，记为。—1—垂直向量——如果向量、的夹角为，则称向量与向量垂直，记为。反向量——与向量模相等且方向相反的向量称为的反向量，记为-。（二）向量的加、减运算“平行四边形法则”与“三角形法则”。（三）数乘向量的运算设为实数，为一向量，则为一向量，它的模为||=||||。当>0时，与同向；当<0时，与反向。非零向量、共线存在实数，使得=。（四）向量的内积运算设、是两非零向量，它们的夹角为<，>，称||·||cos<，>为与的内积，记为·，即·=||||cos<，>·=||2—2—·=0（五）向量的坐标表示设点是直角坐标系xOy中的一点，，分别是与Ox轴和Oy轴正方向相同的单位向量，则向量可表示为：其中、分别称为向量的x坐标、y坐标。直角坐标系xOy中以为起点，为终点的向量可表示为：=向量的坐标运算：设向量，，R，则，，，。非零向量、共线存在R，使得=0（六）距离公式和中点公式两点、之间的距离为：；—3—线段中点M的坐标为：，。例1：设||=2，||=3，<,>=1500，求·。解：·=||||cos<,>=2·3cos1500=-2·3cos300例2：设，，求<,>。解：∵cos<,>===，∴<,>例3：已知，与方向相反，且||=10，求的坐标表示。解：∵与方向相反，∴可设=（）。∵||=10，∴||=||，∴252=1002=4=2，而，∴=-2，∴=例4：已知，，且，求x的值。解：∵，∴·=0，即-15+3x=0，∴x=5二、直线基本要求：理解直线的倾角和斜率的概念，会求直线的斜率。会求直线的方程，能运用直线方程解决有关问题。掌握两直线平行或垂直的条件以及点到直线的距离公式，会用它们解决有关问题。—4—（一）直线的倾角和斜率1．定义：在直角坐标系中，直线l与x轴正向的夹角称为直线l的倾角（规定：l与x轴平形时，，）。称（）为直线l的斜率，如果直线l过两点和，则（）。直线l与y轴交点的纵坐标称为直线l在y轴上的截距，l与x轴交点的横坐标称为直线l在x轴上的截距。2．直线方程的几种形式：点斜式——经过点，斜率为k的直线方程为（或）斜截式——斜率为k，在y轴上的截距为b的直线方程为：；两点式——经过两点和的直线方程为：（，）；截距式——在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b的直线方程为：（）；—5—一般式——直线的一般式方程为：（A，B不同时为零），（其中，在y轴上的截距）平行于x轴的直线：；x轴：；平行于y轴的直线：；y轴：；过原点（不包括坐标轴）的直线：。3．两条直线的位置关系：设两直线的方程为，，则（1）；（2）。4．点到直线的距离公式：点到直线的距离为。例1：求过点且与直线平行的直线方程。解：因为所求直线与直线平行，所以其斜率为，由点及斜率，得直线的点斜式方程为。例2：设有两点，，求线段的垂直平分线方程。—6—解：中点P的坐标为，；因为的斜率为，所以的垂直平分线的斜率为，由点P和斜率得线段的垂直平分线方程为：，即。例3：直线l的倾角为，且与点的距离为，求直线l的方程。解：因为l的斜率为，所以可设直线l的方程为，即。由l与点的距离为，有或或，所以直线l的方程为：或。—7—
