“点差法”，差在哪？VIP专享VIP免费

直击高考思想方法系列之九“点差法”，差在哪？中点弦问题是解析几何听重点、热点问题。解圆锥曲线的中点弦问题，很多学生习惯于用所谓“点差法”：首先设出弦的两端点坐标，然后代入圆锥曲线方程相减，得到弦中点的坐标与所在直线的斜率的关系，从而求出直线方程。但是，有时候符合条件的直线是不存在的，这时使用“点差法”便会走入“误区”。下面问题中便有学生经常掉入“陷阱”。题目：已知双曲线，问是否存在直线l，使M(1,1)为直线l被双曲线所截弦AB的中点。若存在，求出直线l的方程；若不存在请说明理由。错误解法1：（点差法）设直线与双曲线两交点A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，M点的坐标为(xM,yM)。由题设可知直线l不可能垂直于x轴，所以x1≠x2。因此，有两式相减可得又因为所以而由题设可知M点的坐标为（1，1）。故.所以，直线l存在，其方程为2x-y-1=0.错误解法2：（联立法）由题知直线l不可能垂直于x轴，又由于直线过M点，因此，可设直线l的方程为y-1=k(x-1)，与双曲线的方程联立可得将①代入②式，化简可得到当k≠±时，由韦达定理可知，而，可得，此时k=2。因此，直线2x-y-1=0是符合题意的直线。当k=±,直线与双曲线只有一个交点不符合题目要求。综上可知：直线l存在，其方程为2x-y-1=0，看上去两种解法“殊途同归”，得到的都是同一条直线，但是却不晓得实际上都归入了一种错误的答案。细心的读者可以发现，将直线y=2x-1，代入双曲线,可得2x2-4x+3=0.而这个二次方程的△<0。这时，直线和双曲线是没有交点的。那么，究竟“点差法”，差在哪呢？而“联立法”，又错在哪呢？1“点差法”，差在这儿事实上，对于直线与双曲线的交点A、B需要满足以下两个几何条件：（1）A、B两点在双曲线上。（2）线段AB的中点为M。转化成解析条件，需要A点的坐标（x1,y1)，B点的坐标(x2,y2)。满足如下方程组（I）而在使用“点差法”的过程中，可以发现A点的坐标(x1,y1),B点的坐标(x2,y2)，仅需满足方程组（II）我们发现方程组（II）是有解的而方程组（I）是无解的，也就是满足条件的点A、B是不存在的，而用“点差法”求解过程对坐标的限制少，因此出现增根的现象。一句话，用“点差法”是求中点弦的必要条件而不是充分条件，原来“点差法”差在这里！2“联立法”，错在这儿在“联立法”的求解过程中，我们利用了韦达定理，而韦达定理仅是二次方程有解的一个必要条件。所以，求出的直线不满足题目的条件，问题也就出在这里。从以上两种错误的解法中，我们可以得到如下的启示：由于“点差法”和“联立法”求出的中点弦，我们还要验证是否符合题设条件方可判断。对于这类过中点的直线的存在性问题，们用以下行之有效的方法处理便可以避开繁琐的验证，避免出错。有效方法：主要思想：利用M是线段AB的中点，且M点的坐标为(xM,yM)，巧妙的设A(xM+s,yM+t),B(xM-s,yM-t),(s,t∈R),再结合题目中的其他条件进行解题。针对这道题目我们可以给出如下解法：由题意得M(1,1)为弦AB的中点，可设A(1+s,1+t),B(1-s,1-t),(s,t∈R),由于A，B，M不重合可知，s,t不全为零，又点A、B在双曲线上，将点的坐标代入方程可得①+②可得s2=t2,③①②可得t=2s.④将④式代入③式可得s=0,t=0，不可能，故不存在这样的直线。这种巧妙的设法在处理中点问题时确有它的独到之处。以上只列举了它在本题中的应用实际上，利用上述处理方法还可以解决其他方面的问题，有兴趣的读者可以自己去做一些探索，这里不再说明。