双曲线和抛物线的区别究竟在哪？(4 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。 双曲线和抛物线的区别究竟在哪？安徽省五河高级中学 刘瑞美（邮编：233300）在复习圆锥曲线时，有学生提出这样的问题：“椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。从图像上看，椭圆和双曲线与抛物线图像有着明显的差别，容易区分，但双曲线和抛物线图像都是无限延展的，其形状差不多，如何区分？怎样区分” ？带着这样的疑惑，我们从如下几个方面探讨了两者之间的差别。1.从用平面截圆锥的角度比较大家知道，双曲线和抛物线都属于圆锥曲线——也就是空间圆锥曲面与平面相交产生的曲线。当平面与旋转轴间的夹角等于圆锥半顶角（平面与圆锥顶点不共面）时，交线为抛物线（如图 1）； （ 图 1） （图 2）当平面与旋转轴间的夹角小于半顶角且大于等于时，交线为双曲线（如图 2）。在我们教材的章头部分有这样一句话，当我们用平面去截圆锥，根据截面与圆锥轴的夹角不同，所得到截面周界分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线。到底当截面与圆锥轴的夹角为多大时，得到的周界才是椭圆、双曲线和抛物线呢？下面我们来证明上述结论。为讨论问题的方便，我们特作如下的约定：设圆锥的轴截面顶角，平面与圆锥轴线所成的角。设平面过母线上的点，又，不妨设平面平面在平面上的射影为，为平面截圆锥面所得图形上任一动点。以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系(如图 3)，则，因而再设则，两边平方整理可得：1、当时，式变为即 ，得到一个圆。2、当时，式变为显然是两条直线。3、当时，式变为显然是一条抛物线。4、当且时，式可变为，此时若因为，则式显然表示椭圆；若因为，则式显然表示双曲线。图3 很显然，当时，所得截面周界是抛物线；当时，所得截面周界是双曲线。椭圆、双曲线，抛物线同属于圆锥曲线。早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了。古希腊数学家阿波罗尼采纳平面切割圆锥的方法来讨论这几种曲线。用垂直与锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。2.从圆锥曲线第二定义比较通过上面的讨论我们发现，圆锥曲线是用平面截圆锥面得到平面曲线，因此它们之间存在着千丝万缕的联系，但又有着本质的区别。圆锥曲线是平面内动点到定点与到定直线...
