第4章第3节(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于()A．1B．－1C.D.解析：由|a·b|＝|a||b|知，a∥b.所以sin2x＝2sin2x，即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)，所以sinx＝cosx，即x＝，故tanx＝1.答案：A2．在四边形ABCD中，AB�＝DC�，且AC�·BD�＝0，则四边形ABCD是()A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形解析：由AB�＝DC�知四边形ABCD为平行四边形，又因为AC�·BD�＝0，即▱ABCD的两条对角线垂直，所以四边形ABCD为菱形．答案：B3．(·湖南高考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB�·AC�等于()A．－16B．－8C．8D．16解析：法一：因为cosA＝，故AB�·AC�＝|AB�||AC�|cosA＝|AC�|2＝16.法二：AB�在AC�上的投影为|AB�|cosA＝|AC�|，故AB�·AC�＝|AC�||AB�|cosA＝|AC�|2＝16.答案：D4．在锐角△ABC中，AB�＝a，CA�＝b，S△ABC＝1，且|a|＝2，|b|＝，则a·b等于()A．－2B．2C．－D.解析：S△ABC＝|AB�||CA�|sinA＝×2×sinA＝1，∴sinA＝， A为锐角，∴A＝.∴a·b＝AB�·CA�＝|a||b|cos(π－A)＝2×cos＝－2.答案：A5．设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，则β－α＝()A.B．－C.D．－解析：由|2a＋b|＝|a－2b|得3|a|2－3|b|2＋8a·b＝0，而|a|＝|b|＝1，故a·b＝0，∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即cos(α－β)＝0，由于0<α<β<π，故－π<α－β<0，∴α－β＝－，即β－α＝.答案：A6．若△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且(AB�＋AC�)·BC�＝0，则△ABC一定是()A．等腰直角三角形B．非等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形解析：由题意可知，在△ABC中，BC边上的中线又是BC边上的高，因此△ABC是等腰三角形，而三个内角A，B，C成等差数列，故角B为60°，所以△ABC一定是等边三角形．答案：C二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．力F的大小为50N，与水平方向的夹角为30°(斜向上)，使物体沿水平方向运动了20m，则力F所做的功为________．解析：设木块的位移为s，则F·s＝|F|·|s|cos30°＝50×20×＝500(J)．答案：500J8．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量MN�的模为________．解析： a∥b，∴x＝4，∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)． (a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3×(－2－y)＝0，∴y＝－4，∴M(4，－4)，N(－4,4)．故向量MN�＝(－8,8)，|MN�|＝8.答案：89．给出以下四个命题：①对任意两个向量a，b都有|a·b|＝|a||b|；②若a，b是两个不共线的向量，且AB�＝λ1a＋b，AC�＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A、B、C共线⇔λ1λ2＝－1；③若向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则a＋b与a－b的夹角为90°.④若向量a、b满足|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝，则a，b的夹角为60°.以上命题中，错误命题的序号是________．解析：①错， |a·b|＝|a||b|·|cosθ|≤|a||b|.②错． A、B、C共线，∴AB�＝kAC�，∴∴λ1λ2＝1.④错， |a＋b|2＝13，∴|a|2＋|b|2＋2a·b＝13，即a·b＝|a||b|·cosθ＝－6，∴cosθ＝－，∴θ＝120°.答案：①②④三、解答题(共3个小题，满分35分)10．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影．解：(1) a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0a＝0.(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb与a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|cosθ.∴|a|cosθ＝＝＝－＝－.11．设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝(－，)．(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小．解：(1)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－(＋)＝0，故a＋b与a－b垂...
