第4章第4节(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．下面四个命题：(1)0比－i大；(2)两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数时成立；(3)x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；(4)如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：(1)中实数与虚数不能比较大小；(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数；(3)x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1是错误的，因为没有标明x，y是否是实数；(4)当a＝0时，没有纯虚数和它对应．答案：A2．设复数ω＝－＋i，则化简复数的结果是()A．－－iB．－＋iC.＋iD.－i解析：∵ω2＝2＝－－i＝－－i，∴＝＝－＋i.答案：B3．在复平面内，向量AB�对应的复数是2＋i，向量CB�对应的复数是－1－3i，则向量CA�对应的复数为()A．1－2iB．－1＋2iC．3＋4iD．－3－4i解析：向量AB�对应的复数是2＋i，则BA�对应的复数为－2－i，∵CA�＝CB�＋BA�，∴CA�对应的复数为(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i.答案：D4．已知复数a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i为虚数单位)，若复数∈R，则实数x的值为()A．－6B．6C.D．－解析：由于＝＝＝∈R，则8－3x＝0，∴x＝.答案：C5．若复数z＝cosθ＋isinθ且z2＋z2＝1，则sin2θ＝()A.B.C.D．－解析：z2＋z2＝(cosθ＋isinθ)2＋(cosθ－isinθ)2＝2cos2θ＝1⇒cos2θ＝，所以sin2θ＝＝.答案：B6．若M＝{x|x＝in，n∈Z}，N＝{x|＞－1}(其中i为虚数单位)，则M∩(∁RN)＝()A．{－1,1}B．{－1}C．{－1,0}D．{1}解析：依题意M＝{1，－1，i，－i}，N＝{x|x＞0或x＜－1}，所以∁RN＝{x|－1≤x≤0}，故M∩(∁RN)＝{－1}．答案：B二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量OA�和OB�，其中O为坐标原点，则|AB�|＝________.解析：由题意知A(1,1)，B(－1,3)，故|AB�|＝＝2.答案：28．已知复数z1＝3－i，z2是复数－1＋2i的共轭复数，则复数－的虚部等于________．解析：－＝－＝－＝，其虚部为.答案：9．已知a∈R，则复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第________象限，复数z对应点的轨迹是________．解析：由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，得z的实部为正数，z的虚部为负数．∴复数z的对应点在第四象限．设z＝x＋yi(x、y∈R)，则消去a2－2a得y＝－x＋2(x≥3)，∴复数z对应点的轨迹是一条射线，其方程为y＝－x＋2(x≥3)．答案：四一条射线三、解答题(共3个小题，满分35分)10．实数m分别取什么数值时？复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)与复数2－12i相等；(2)与复数12＋16i互为共轭；(3)对应的点在x轴上方．解：(1)根据复数相等的充要条件得解之得m＝－1.(2)根据共轭复数的定义得解之得m＝1.(3)根据复数z对应点在x轴上方可得m2－2m－15＞0，解之得m＜－3或m＞5.11．若复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1(3－i)＝z2(1＋3i)，|z1|＝，求z1.解：设z1＝a＋bi，则z2＝－a＋bi，∵z1(3－i)＝z2(1＋3i)，且|z1|＝，∴解得或则z1＝1－i或z1＝－1＋i.12．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}同时满足M∩NM，M∩N≠∅，求整数a、b.解：依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③由①得a＝－3，b＝±2，经检验，a＝－3，b＝－2不合题意，舍去．∴a＝－3，b＝2.由②得a＝±3，b＝－2.又a＝－3，b＝－2不合题意．∴a＝3，b＝－2.③中，a，b无整数解不符合题意．综合①、②得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2.
