第8章第6节(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是()A.B.C.D.解析：由题意知，＝4，则双曲线的离心率e＝＝＝.答案：A2．(·深圳一模)若双曲线过点(m，n)(m>n>0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点()A．在x轴上B．在y轴上C．在x轴或y轴上D．无法判断是否在坐标轴上解析： m>n>0，∴点(m，n)在第一象限且在直线y＝x的下方，故焦点在x轴上．答案：A3．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()A．4B．8C．24D．48解析：由P是双曲线上的一点和3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6，又|F1F2|＝2c＝10，所以三角形PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝×6×8＝24.答案：C4．(·日照一模)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且它的一条准线与抛物线y2＝4x的准线重合，则此双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，由题意，得：解得，a2＝3，b2＝6，故所求双曲线的方程为－＝1.答案：C5．(·宝鸡模拟)P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且1PF�·2PF�＝0，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于()A．4B．7C．6D．5解析：设|PF1|＝x，|PF2|＝y，则xy＝18，x2＋y2＝4c2，故4a2＝(x－y)2＝4c2－36，又＝，∴c＝5，a＝4，b＝3，得a＋b＝7.答案：B6．设F1、F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A．3x±4y＝0B．3x±5y＝0C．4x±3y＝0D．5x±4y＝0解析：设PF1的中点为M，由|PF2|＝|F1F2|，得F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a，在Rt△F1F2M中，|F1M|＝＝2b，故|PF1|＝4b，根据双曲线定义4b－2c＝2a，即2b－a＝c，即(2b－a)2＝a2＋b2，即3b2－4ab＝0，即3b＝4a，故双曲线的渐近线方程是y＝±x，即y＝±x，即4x±3y＝0.答案：C二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为______________．解析：椭圆①，②的b值相同，椭圆①的a值小于椭圆②的a值，由e＝＝可得e10，b>0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足FB�·AB�＝0，则双曲线的离心率为________．解析：因为FB�·AB�＝0，所以FB�⊥AB�，所以FB⊥AB，所以∠ABF＝90°，即AB2＋BF2＝AF2，所以a2＋b2＋b2＋c2＝(a＋c)2，解得双曲线的离心率为e＝.答案：9．(·北京西城)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1�·PF2�的最小值为________．解析：由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则PA1�＝(－1－x，－y)，PF2�＝(2－x，－y)，PA1�·PF2�＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5. x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，∴当x＝1时，PA1�·PF2�取得最小值－2.答案：－2三、解答题(共3个小题，满分35分)10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：MF1�·MF2�＝0；(3)求△F1MF2面积．解：(1) e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ. 过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，kMF1·kMF2＝＝－. 点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴MF1�·MF2�＝0.法二： MF1�＝(－3－2，－m)，MF2�＝(2－3，－m)，∴MF1�·MF2�＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2， M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴MF1�·MF2�＝0.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，由(2)知m＝±.∴△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6.11．已知中心在原点的...
