《复数》知识要点梳理一、数的发展和复数的概念1.数的发展过程N→Z→Q→R→C，其中.2.复数的分类注：若R——实数集，C——复数集，P——虚数集，S——纯虚数集，则.3.复数的三种形式（1）代数形式：.注：若无这一条件，就不能视为z的实部、虚部.（2）几何形式：用点表示.（3）向量形式：用表示.（4）三种形式的一一对应关系：4.复数相等（1），且.（2）对应点与重合与重合.5.共轭复数与互为共轭复数.（1）几何特征：非零复数互为共轭复数对应点（或对应向量，）关于实轴对称.（2）代数特征：①为纯虚数或零；②.6.复数的模复数的模.二、复数的运算与性质1.复数的运算及其几何意义（1）对于代数形式的加、减、乘、除四则运算法则，要特别注意复数的除法可以用“分母实数化”理解.（2）复数的加减法满足交换律、结合律.（3）复数的乘除法满足交换律、结合律及对加法的分配律.（4）复数的混合运算顺序也是先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的.（5）复数加法、减法的几何意义，即向量加法、减法的平行四边形法则或三角形法则.2.重要性质或结论（1）共轭复数的运算性质①.②.③.④.⑤.⑥.⑦若z为纯虚数.⑧.（2）复数模的运算性质①.②.③.④.⑤（当z≠0时，）.⑥.注：性质⑥通常叫做三角形不等式，其几何意义为三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.⑦.注：性质⑦的几何意义为平行四边形两对角线平方和等于四条边的平方和.（３）复数与点的轨迹①两点间的距离公式：.②线段的中垂线：.③圆的方程：（以点p为圆心，r为半径）.④椭圆：（2a为正常数，）.⑤双曲线：（2a为正常数，）.⑥圆的内部：（以点p为圆心，r为半径）.⑦闭圆环：（以点p为圆心，为半径）.（4）常用的重要结论①.②z是纯虚数的充要条件是且z≠0.③.④.⑤.⑥i的平方根是，的平方根是的立方根是的立方根是.⑦设，，则，.（）⑧非零复数，，对应的向量（矩形的对角线相等）.三、复系数一元二次方程及性质1.实系数一元二次方程且及性质（1）时，方程有实根：；时，在复数集C中，方程有一对共轭虚数根.（2）根与系数的关系：无论还是，总有.（3）虚根成对出现的性质：当＜0时，且.2.虚系数一元二次方程至少有一个为虚数）及性质（1）求根公式仍适用；（2）根与系数的关系仍适用；（3）判别式判断实根情况失效；（4）虚根成对出现的性质失效.四、复数复习注意点１.复数有关的证明问题（1）.（2）.（3）.2.证明复数是纯虚数的方法（1）i是纯虚数且.（2）z是纯虚数且z≠0.（3）z是纯虚数.３.数的概念扩展到复数后，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等.再如下列结论，当z∈C时都可以举出结论不成立的例证（由于前4个结论都较容易给出反例，我们不再给出，只对（5）、（6）进行分析）：（1）；（2）；（3）；（4）.（5）对虚数a不再适用，如，求值.错解：，。正解：注：，若为虚数，则。（6），且对虚数不再成立。如在复数集上解方程。错解：将原方程变形为。正解：原方程可化为，或。
