常微分方程 二阶线性微分方程习题课VIP专享VIP免费

1定理1,0)]([0)]([21xyLxyL，如果线性微分方程的解的结构二阶线性微分方程定理2)()(2211xyCxyCY线性无关解，齐次方程通解：.yYy非齐次方程通解：.0)]()([2211xyCxyCL是齐次方程，如果)()(21xyxy)(][2*2xfyL定理4定理3),()(*1xfyL)()(*2xfyL.0)(*1*1yyL),(][1*1xfyL定理5).()(][21*2*1xfxfyyL2例1xexyxyy232213,3,3已知66)22()2()2(22xyxyxyxx都是方程:求此方程的通解.的解,二阶线性微分方程齐次方程的特解.非齐次线性方程的两个特解之差是对应非齐次方程的通解：.yYy,212xyy，xeyy23xex2xex,2齐次线性方程的通解：，xeCxCY221解常数线性无关.3(3)根据特征根的不同情况，得到相应的通解。(1)相应的特征方程,(2)求特征根，二阶常系数齐次线性方程02qp0yqypy特征根的情况通解的表达式实根21xxeeCCy2121实根21xexCCy1)(21复根)sincos(21xCxCyxei21，二阶线性微分方程21,4.044的通解求方程yyy解特征方程0442（二重根）2通解：例2特征根xexCCy221)(二阶线性微分方程5.052的通解求方程yyy解特征方程0522通解：例3特征根)2sin2cos(21xCxCyxe,212,1i二阶线性微分方程6例4解初值问题.2,4,09241600xxyyyyy解特征方程0924162特征根43方程的通解：4)0(y，xexCy432)4(xexCC4322433(二重根).12C特解.)4(43xexyxexCCy4321)(，41C2)0(y二阶线性微分方程7例5求方程解052)4(yyy的通解.特征方程,052234021所求通解:特征根xCCy21.0)52(22和.214,3i)2sin2cos(43xCxCxe二阶线性微分方程8特征根,11（单根）所求通解:xeCy1解01222345特征方程0)1()1(22.022)4()5(的通解求yyyyyy例6,3,2，共轭复根（二重）ixxCCcos)(32.sin)(54xxCC二阶线性微分方程9解：,0y,ln22yyyyy方程改写为：,lnyyyx,lnlnyyyzln令，0zz特征根.1xxeeCCz21.ln21xxeeCCy求微分方程的通解.yyyyyln22特征方程，012二阶常系数齐次线性方程通解或:.),(型yyfy设,py.ddyppyyy例7二阶线性微分方程10,)(xmkexQxy设kxmexPyqypy)(102不是根是单根是重根二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性方程xnmexxBxxAyqypy]sin)(cos)([xllkexxQxxPxy]sin)(cos)([*设11.323的通解求方程xeyyy解对应齐次方程通解特征方程0322特征根1321，xxeCeCY231(1)求对应齐次方程的通解.)(3xexf.3)3(是单根(2)求非齐次方程的解y设xeAx3例8二阶线性微分方程12代入方程,yyy,,将.323的通解求方程xeyyy,41Axxey341原方程通解：yYyxxeCeC231xxe341xAxey3设对应齐次方程通解xxeCeCY231二阶线性微分方程例813.232的通解求方程xexyyy解对应齐次方程通解特征方程0232特征根2121，xxeeCCY221是单根，2*y设例9(1)求对应齐次方程的通解(2)求非齐次方程的特解，xexxf2)(2)(BAxxxe2二阶线性微分方程14代入方程,得xABAx22.1,21BAxexxy2)121(原方程通解：xxeeCC221.232的通解求方程xexyyyxeBAxxy2)(yyy,,将yYyxexx2)121(对应齐次方程通解xxeeCCY221二阶线性微分方程例915,223)(xeyyyxyy满足微分方程设函数在处的切线与曲线其图形在点1)1,0(2xxy,该点处的切线重合.的解析表达...