第3章第5课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．在△ABC中，已知sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形解析：sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB＝sin[(A－B)＋B]＝sinA≥1，又sinA≤1，∴sinA＝1，A＝90°，故△ABC为直角三角形．答案：A2．sin＝，则sin2x的值为()A.B.C.D.解析：∵sin＝，∴cosx－sinx＝(cosx－sinx)＝.∴cosx－sinx＝.∴(cosx－sinx)2＝1－sin2x＝，∴sin2x＝.答案：A3．已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为()A.B.C.D．1解析：tan(α＋β)＝tan＝＝＝1，故选D.答案：D4．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝，则cos的值为()A.B.C．±D．±解析：∵θ为第二象限角，∴为第一、三象限角．∴cos的值有两个．由sin(π－θ)＝，可知sinθ＝，∴cosθ＝－.∴2cos2＝.∴cos＝±.答案：C5．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈，则cos(α－β)的值等于()A．－B.C．－D.解析：∵α∈，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，∴sin2α＝＝，而α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝＝，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝×＋×＝.答案：D6．若tanα＝lg(10a)，tanβ＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为()A．1B.C．1或D．1或10解析：tan(α＋β)＝1⇒＝＝1⇒lg2a＋lga＝0，所以lga＝0或lga＝－1，即a＝1或.答案：C二、填空题7．若＝－，则cosα＋sinα的值为________．解析：＝＝－(sinα＋cosα)＝－，∴sinα＋cosα＝.答案：8．tan15°＋tan30°＋tan15°·tan30°的值是________．解析：原式＝tan(15°＋30°)·(1－tan15°·tan30°)＋tan15°·tan30°＝tan45°(1－tan15°·tan30°)＋tan15°·tan30°＝1.答案：19．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α＝________.解析：依题意有cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ.即cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(sinβ＋cosβ)．∵α、β均为锐角，∴sinβ＋cosβ≠0，必有cosα＝sinα.∴α＝.答案：三、解答题10．已知α为第二象限的角，sinα＝，β为第三象限的角，tanβ＝.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求cos(2α－β)的值．解析：(1)因为α为第二象限的角，sinα＝，所以cosα＝－＝－，tanα＝＝－.又tanβ＝，所以tan(α＋β)＝＝.(2)因为β为第三象限的角，tanβ＝，所以sinβ＝－，cosβ＝－.又sin2α＝2sinαcosα＝－，cos2α＝1－2sin2α＝，所以cos(2α－β)＝cos2αcosβ＋sin2αsinβ＝.11．在平面直角坐标系xOy中，点P在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且OP·OQ＝－.(1)求cos2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值．【解析方法代码108001039】解析：(1)因为OP·OQ＝－，所以sin2θ－cos2θ＝－，即(1－cos2θ)－cos2θ＝－，所以cos2θ＝，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝.(2)因为cos2θ＝，所以sin2θ＝，所以点P，点Q，又点P在角α的终边上，所以sinα＝，cosα＝.同理sinβ＝－，cosβ＝，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝－.12．(·天津调研)已知sinα＋cosα＝，α∈，sin＝，β∈.(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．【解析方法代码108001040】解析：(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝，即1＋sin2α＝，∴sin2α＝.又2α∈，∴cos2α＝＝，∴tan2α＝＝.(2)∵β∈，β－∈，∴cos＝，于是sin2＝2sincos＝.又sin2＝－cos2β，∴cos2β＝－.又2β∈，∴sin2β＝.又cos2α＝＝，∴cosα＝，sinα＝.∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝×－×＝－.
