第三十讲数列求和班级________姓名________考号________日期________得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于()A．200B．－200C．400D．－400解析：S100＝1－5＋9－13…＋＋(4×99－3)－(4×100－3)＝50×(－4)＝－200.答案：B2．数列1…，，，，的前n项和为()A.B.C.D.解析：该数列的通项为an＝，分裂为两项差的形式为an＝2，令n＝1,2,3…，，则Sn＝2.∴Sn＝2＝.答案：B3．设f(n)＝2＋24＋27＋210…＋＋23n＋10(n∈N)，则f(n)等于()A.(8n－1)B.(8n＋1－1)C.(8n＋3－1)D.(8n＋4－1)解析：f(n)为等比数列{23n－2}的前n＋4项的和，首项为2，公比为8，故f(n)＝＝(8n＋4－1)．答案：D4．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝an－3，则数列{an}的前n项和Sn等于()A．3n＋1－3B．3n－3C．3n＋1＋3D．3n＋3解析：∵Sn＝an－3，∴Sn＋1＝an＋1－3，两式相减得：Sn＋1－Sn＝(an＋1－an)．即an＋1＝(an＋1－an)，∴＝3.又∵S1＝a1－3，即a1＝a1－3，∴a1＝6.∴an＝a1·qn－1＝6×3n－1＝2×3n.∴Sn＝an－3＝×2×3n－3＝3n＋1－3，故应选A.答案：A5．数列1，3，5，7…，，(2n－1)…＋，的前n项和Sn的值等于()A．n2＋1－B．2n2－n＋1－C．n2＋1－D．n2－n＋1－解析：该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，则Sn＝[1＋3＋5…＋＋(2n－1)]＋＝n2＋1－.故选A.答案：A6．数列an＝，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为()A．－10B．－9C．10D．9解析：设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝a1＋a2…＋＋an，又∵an＝－，∴Sn＝1…－＋－＋＋－＝，又∵＝，∴n＝9，∴原题变为求10x＋y＋9＝0在y轴上的截距，令x＝0，得y＝－9，∴直线在y轴上的截距为－9.故选B.答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x)＝1－f(1－x)，则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝________.解析：由条件可知：f(x)＋f(1－x)＝1.而x＋(1－x)＝1，∴f(－2)＋f(3)＝1，f(－1)＋f(2)＝1，f(0)＋f(1)＝1，∴f(－2)＋f(－1)…＋＋f(2)＋f(3)＝3.答案：38.…＋＋＋＋＋－2等于________．解析：设S…＝＋＋＋＋，则S…＝＋＋＋＋.相减，得S…＝＋＋＋－＝－.∴S＝2－－.∴原式＝－－.答案：－－9…．数列，，，的前n项和等于________．解析：an＝＝，∴Sn＝＝＝－.答案：－10．函数f(n)＝，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2…＋＋a1000＝__________.解析：a2n＝f(2n)＋f(2n＋1)＝－4n2＋(2n＋1)2＝4n＋1，a2n－1＝f(2n－1)＋f(2n)＝－(2n)2＋(2n－1)2＝－4n＋1所以数列的前1000项和可分为两部分：(a1＋a3＋a5…＋＋a999)＋(a2＋a4＋a6…＋＋a1000)＝1000.答案：1000三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an.(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.解：(1)∵S＝an，an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∴S＝(Sn－Sn－1)，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn①由题意Sn－1·Sn≠0，故①式两边同除以Sn－1·Sn，得－＝2.∴数列{}是首项为＝＝1，公差为2的等差数列，∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝.(2)∵bn＝＝＝，∴Tn＝b1＋b2…＋＋bn＝＝＝.12．等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前99项的和．解：(1)设数列{an}的公差为d(d>0)，∵a1，a3，a9成等比数列，∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d2＝a1d，∵d>0，∴a1＝d，①∵S5＝a，∴5a1＋·d＝(a1＋4d)2②由①②得a1＝，d＝，∴an＝＋(n－1)×＝n(n∈N*)．(2)bn＝＝·＝，∴b1＋b2＋b3…＋＋b99＝×＝×＝275＋2.75＝277.75.13．(·沈阳市模拟)在数列{an}中，a1＝1，2an＋1＝2·an(n∈N*)．(1)证明：数列{}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝an＋1－an，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)证明：由条件得＝·，又n＝1时，＝1，故数列{}构成首项为1，公比为的等比数列．从而＝，即an＝.(2)由bn＝－＝得Sn…＝＋＋＋⇒Sn…＝＋＋＋＋，两式相减得Sn＝＋2－，所以Sn＝5－.
