v【创优导学案】届高考数学总复习第八章圆锥曲线8-7课后巩固提升（含解析）新人教A版(对应学生用书P269解析为教师用书独有)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．(·郑州模拟)抛物线y2＝4x的焦点F到准线l的距离为()A．1B．2C．3D．4解析B该抛物线的焦点F(1,0)，准线l为：x＝－1.∴焦点F到准线l的距离为2.2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4B．6C．8D．12解析B由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.3．一个正三角形的三个顶点都在抛物线y2＝4x上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是()A．48B．24C.D.解析A如图，设AB所在的直线方程为y＝x，由得B点坐标为(12，4)，∴S△ABC＝2S△ABD＝2××12×4＝48.4．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为()A．5B．10C．20D.解析B由抛物线方程y2＝4x易得抛物线的准线l的方程为x＝－1，又由|PM|＝5可得点P的横坐标为4，代入y2＝4x，可求得其纵坐标为±4，故S△MPF＝×5×4＝10.5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点，有下列四个命题：①△PMN必为直角三角形；②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM不一定与抛物线相切．其中正确的命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④解析A因为PF＝MF＝NF，故∠FPM＝∠FMP，∠FPN＝∠FNP，从而可知∠MPN＝90°，故①正确，②错误；令直线PM的方程为y＝x＋，代入抛物线方程可得y2－2py＋p2＝0，Δ＝0，所以直线PM与抛物线相切，故③正确，④错误．6．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2解析B焦点坐标，准线方程为x＝－.过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，联立消去x得y2－2py－p2＝0，由题意知＝p＝2，∴准线方程为x＝－1.二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．(·宿迁模拟)抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则实数a＝________.解析抛物线y＝ax2化为标准方程为x2＝y，所以其准线方程为y＝－＝1，解得a＝－.【答案】－8．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点，若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________．解析由已知易得抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1≠x2，y＝4x1，y＝4x2，∴y－y＝4(x1－x2)，∴＝＝1，∴直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.【答案】y＝x9．动点P在抛物线y2＝－6x上运动，定点A(0,1)，线段PA中点的轨迹方程是________．解析设P(x′，y′)，PA的中点为Q(x，y)，则有 P(x′，y′)在抛物线y2＝－6x上，∴(2y－1)2＝－12x.【答案】(2y－1)2＝－12x三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．解析(1)由得x2－4x－4b＝0.(*)因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0.解得b＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0.解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1.故点A(2,1)．因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.11．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解析(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p×1，所以p＝2.故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t.由得y2＋2y－2t＝0. 直线l与抛物线C有公共点，∴Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.由直线OA与l的距离d＝，可得＝，解得t＝±1. －1∉，1∈，∴符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y...
