§4.2三角函数的图象与性质考点一三角函数的图象及其变换1.(浙江,4,5分)为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=cos3x的图象()A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位答案C2.(四川,3,5分)为了得到函数y=sin(2x+1)的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点()A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度答案A3.(辽宁,9,5分)将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增答案B考点二三角函数的性质及其应用4.(陕西,2,5分)函数f(x)=cos的最小正周期是()A.B.πC.2πD.4π答案B5.(北京,14,5分)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为.答案π6.(天津,15,13分)已知函数f(x)=cosx·sin-cos2x+,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=cosx·-cos2x+=sinx·cosx-cos2x+=sin2x-(1+cos2x)+=sin2x-cos2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-,f=-,f=,所以函数f(x)在闭区间上的最大值为,最小值为-.7.(福建,16,13分)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-.(1)若0<α<,且sinα=,求f(α)的值;(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析解法一:(1)因为0<α<,sinα=,所以cosα=.所以f(α)=×-=.(2)因为f(x)=sinxcosx+cos2x-=sin2x+-=sin2x+cos2x=sin,所以T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.解法二:f(x)=sinxcosx+cos2x-=sin2x+-=sin2x+cos2x=sin.(1)因为0<α<,sinα=,所以α=,从而f(α)=sin=sin=.(2)T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.考点三y=Asin(ωx+φ)的图象和性质的综合应用8.(安徽,11,5分)若将函数f(x)=sin的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.答案9.(山东,16,12分)已知向量a=(m,cos2x),b=(sin2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图象过点和点.(1)求m,n的值;(2)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.解析(1)由题意知f(x)=a·b=msin2x+ncos2x.因为y=f(x)的图象经过点和,所以即解得m=,n=1.(2)由(1)知f(x)=sin2x+cos2x=2sin.由题意知g(x)=f(x+φ)=2sin.设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),由题意知+1=1,所以x0=0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).将其代入y=g(x)得sin=1,因为0<φ<π,所以φ=.因此g(x)=2sin=2cos2x.由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ,k∈Z,所以函数y=g(x)的单调递增区间为,k∈Z.
