(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．θ是任意实数，则方程x2＋y2sinθ＝4所表示的曲线不可能是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解析： θ∈R，∴sinθ∈[－1,1]，∴方程x2＋y2sinθ＝4不可能是抛物线．答案：C2．(·烟台模拟)抛物线y2＝－12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角形面积等于()A．3B．2C．2D.解析：由题意知，准线x＝3，渐近线y＝±x，可求三角形面积为3.答案：A3．已知抛物线C的方程为x2＝y，过A(0，－1)，B(t,3)两点的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是()A．(∞－，－1)∪(1∞，＋)B．(∞－，－)∪(∞，＋)C．(∞－，－2)∪(2∞，＋)D．(∞－，－)∪(∞，＋)解析：直线AB的方程为y＝x－1，与抛物线方程x2＝y联立得x2－x＋＝0，由于直线AB与抛物线C没有公共点，所以Δ＝－2<0，解得t>或t<－.答案：D4．抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，点M(4,4)是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆共有()A．0个B．1个C．2个D．4个解析：由于圆经过焦点F且与准线l相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上，又因为圆经过抛物线上的点M，所以圆心在线段FM的垂直平分线上，即圆心是线段FM的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知有两个交点，因此一共有2个满足条件的圆．答案：C5．已知抛物线y2＝2px(p>0)与椭圆＋＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F，A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则椭圆的离心率为()A.B.C.－1D.－1解析：由题意知，＝c，＝p，∴＝2c，a2－c2＝2ac，∴1－e2＝2e，解得e＝－1.答案：D6．(·临沂模拟)如图，F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A和B是以O(O为坐标原点)为圆心，以|OF1|为半径的圆与该椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.－1解析：依题意知∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝30°，∴|AF1|＝|F1F2|＝c，|AF2|＝c，由椭圆的定义得|AF2|＋|AF1|＝2a，(＋1)c＝2a⇒椭圆的离心率e＝＝－1.答案：D二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A、B是C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积等于________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则⇒(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)⇒＝＝＝1.∴线段AB所在直线方程为y－2＝x－2，即y＝x.⇒x2－4x＝0⇒x＝0，x＝4.∴A(0,0)，B(4,4)．∴|AB|＝＝4.F(1,0)，F到线段AB的距离d＝.∴S△ABF＝|AB|d＝2.答案：28．已知直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值等于________．解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P(，)，k2＝，k1＝，k1k2＝.由，相减得y－y＝－(x－x)．故k1k2＝－.答案：－9．(·大连模拟)已知＋＝1(m>0，n>0)，当mn取得最小值时，直线y＝－x＋2与曲线＋＝1的交点个数为________．≥解析：＋2，∴mn≥8.当且仅当＝时，即m＝2，n＝4时等号成立．曲线为＋＝1.当x>0，y>0时，表示椭圆＋＝1的一部分；当x<0，y>0时，表示双曲线－＝1的一部分；当x>0，y<0时，表示双曲线－＝1的一部分，当x<0，y<0时，曲线不存在．如图知交点个数为2.答案：2三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限的一点，B也在椭圆上，且满足＋＝0(O为坐标原点)，·＝0，且椭圆的离心率为.(1)求直线AB的方程；(2)若△ABF2的面积为4，求椭圆的方程．解：(1)由＋＝0知直线AB过原点，又·＝0，∴⊥.又e＝，∴c＝a，∴b2＝a2，∴椭圆方程为＋＝1，即x2＋2y2＝a2，设A(a，y)代入x2＋2y2＝a2⇒y＝a⇒A(a，a)，∴直线AB的方程为y＝x.(2)由对称性知S△ABF1＝＝，∴·2c·a＝4.又c＝a，∴a2＝16，∴b2＝8，∴椭圆方程为＋＝1.11．(·广州模拟)已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)已知圆M过定点D(0,2)，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，求＋的最大值．解：(1)设P(x，y)，则Q(x，－1)， ·＝·，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)．即2(y＋1)＝x2－2(y－1)...
