(时间60分钟,满分80分)一、选择题(共6个小题,每小题5分,满分30分)1.θ是任意实数,则方程x2+y2sinθ=4所表示的曲线不可能是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆解析: θ∈R,∴sinθ∈[-1,1],∴方程x2+y2sinθ=4不可能是抛物线.答案:C2.(·烟台模拟)抛物线y2=-12x的准线与双曲线-=1的两条渐近线所围成的三角形面积等于()A.3B.2C.2D.解析:由题意知,准线x=3,渐近线y=±x,可求三角形面积为3.答案:A3.已知抛物线C的方程为x2=y,过A(0,-1),B(t,3)两点的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是()A.(∞-,-1)∪(1∞,+)B.(∞-,-)∪(∞,+)C.(∞-,-2)∪(2∞,+)D.(∞-,-)∪(∞,+)解析:直线AB的方程为y=x-1,与抛物线方程x2=y联立得x2-x+=0,由于直线AB与抛物线C没有公共点,所以Δ=-2<0,解得t>或t<-.答案:D4.抛物线y2=4x的焦点是F,准线是l,点M(4,4)是抛物线上一点,则经过点F、M且与l相切的圆共有()A.0个B.1个C.2个D.4个解析:由于圆经过焦点F且与准线l相切,由抛物线的定义知圆心在抛物线上,又因为圆经过抛物线上的点M,所以圆心在线段FM的垂直平分线上,即圆心是线段FM的垂直平分线与抛物线的交点,结合图形易知有两个交点,因此一共有2个满足条件的圆.答案:C5.已知抛物线y2=2px(p>0)与椭圆+=1(a>0,b>0)有相同的焦点F,A是两曲线的一个交点,且AF⊥x轴,则椭圆的离心率为()A.B.C.-1D.-1解析:由题意知,=c,=p,∴=2c,a2-c2=2ac,∴1-e2=2e,解得e=-1.答案:D6.(·临沂模拟)如图,F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,A和B是以O(O为坐标原点)为圆心,以|OF1|为半径的圆与该椭圆的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.-1解析:依题意知∠F1AF2=90°,∠AF2F1=30°,∴|AF1|=|F1F2|=c,|AF2|=c,由椭圆的定义得|AF2|+|AF1|=2a,(+1)c=2a⇒椭圆的离心率e==-1.答案:D二、填空题(共3小题,每小题5分,满分15分)7.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,A、B是C上的两个点,线段AB的中点为M(2,2),则△ABF的面积等于________.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则⇒(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2)⇒===1.∴线段AB所在直线方程为y-2=x-2,即y=x.⇒x2-4x=0⇒x=0,x=4.∴A(0,0),B(4,4).∴|AB|==4.F(1,0),F到线段AB的距离d=.∴S△ABF=|AB|d=2.答案:28.已知直线l与椭圆x2+2y2=2交于P1、P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线l的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值等于________.解析:设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则P(,),k2=,k1=,k1k2=.由,相减得y-y=-(x-x).故k1k2=-.答案:-9.(·大连模拟)已知+=1(m>0,n>0),当mn取得最小值时,直线y=-x+2与曲线+=1的交点个数为________.≥解析:+2,∴mn≥8.当且仅当=时,即m=2,n=4时等号成立.曲线为+=1.当x>0,y>0时,表示椭圆+=1的一部分;当x<0,y>0时,表示双曲线-=1的一部分;当x>0,y<0时,表示双曲线-=1的一部分,当x<0,y<0时,曲线不存在.如图知交点个数为2.答案:2三、解答题(共3小题,满分35分)10.已知F1、F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限的一点,B也在椭圆上,且满足+=0(O为坐标原点),·=0,且椭圆的离心率为.(1)求直线AB的方程;(2)若△ABF2的面积为4,求椭圆的方程.解:(1)由+=0知直线AB过原点,又·=0,∴⊥.又e=,∴c=a,∴b2=a2,∴椭圆方程为+=1,即x2+2y2=a2,设A(a,y)代入x2+2y2=a2⇒y=a⇒A(a,a),∴直线AB的方程为y=x.(2)由对称性知S△ABF1==,∴·2c·a=4.又c=a,∴a2=16,∴b2=8,∴椭圆方程为+=1.11.(·广州模拟)已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且·=·.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)已知圆M过定点D(0,2),圆心M在轨迹C上运动,且圆M与x轴交于A、B两点,设|DA|=l1,|DB|=l2,求+的最大值.解:(1)设P(x,y),则Q(x,-1), ·=·,∴(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2).即2(y+1)=x2-2(y-1)...