(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．有一个几何体的三视图及其尺寸如右(单位：cm)，则该几何体的表面积为()A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．36πcm2解析：该几何体是底面半径等于3，母线长等于5的圆锥，其表面积S表＝π×3×5＋π×32＝24π(cm2)．答案：C2．(·陕西高考)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A.B.C．1D．2解析：由几何体的三视图知几何体是底面以1和为直角边的直角三角形，高为的直三棱柱，∴V＝×1××＝1.答案：C3．(·烟台模拟)已知一个实心铁质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为3的圆，将6个这样的几何体熔成一个实心正方体，则该正方体的表面积为()A．216B．216C．210D．210解析：由6××33＝a3，∴a＝6，∴S＝6a2＝216.答案：A4．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是()A.πB．2πC.πD.π解析：上底半径r＝1，下底半径R＝2.∵S侧＝6π，设母线长为l，则π(1＋2)·l＝6π，∴l＝2，∴高h＝＝，∴V＝π·(1＋1×2＋2×2)＝π.答案：D5．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是()A．96B．16C．24D．48解析：由πR3＝π，∴R＝2，∴正三棱柱的高h＝4，设其底面边长为a，则·a＝2，∴a＝4，∴V＝(4)2·4＝48.答案：D6．设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为m)，则该几何体的体积为________m3.()A．4B．6C．2D．8解析：由三视图可知原几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形的一边长为4，且该边上的高为3，故所求三棱锥的体积为V＝××3×4×2＝4m3.答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．(·福建高考)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于________．解析：由正视图可知，该三棱柱是底面边长为2，侧棱长为1的正三棱柱，其表面积为2××4＋3×2×1＝6＋2.答案：6＋28．(·天津高考)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．解析：由三视图可知，原几何体是由上面一个正四棱锥，下面一个正四棱柱构成的，V＝×2×2×1＋1×1×2＝.答案：9．(·昆山模拟)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．解析：由题意，设AB＝a，AA1＝b，再由BD·DC1＝6可得a2＋＝12.又由BC2＋CC＝BC，得a2＋b2＝24，可得a＝2，b＝4，∴V＝×(2)2×4＝8.答案：8三、解答题10．如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，求此三棱锥的体积．解：折叠起来后，B、D、C三点重合为S点，则围成的三棱锥为S－AEF，这时SA⊥SE，SA⊥SF，SE⊥SF，且SA＝2，SE＝SF＝1，所以此三棱锥的体积V＝··1·1·2＝.11．直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为AB上的点，且AD＝AE＝DC＝2，BE＝1，将△ADE沿DE折叠到P点，使PC＝PB.(1)求证：平面PDE⊥平面ABCD；(2)求四棱锥P－EBCD的体积．解：(1)证明：取BC中点G，DE中点H，连接PG，GH，HP.∵HG∥AB，∴HG⊥BC.又∵PB＝PC，∴PG⊥BC.又∵HG∩PG＝G，∴BC⊥平面PGH.又PH⊂平面PGH，∴PH⊥BC.∵PD＝PE，H为DE中点，∴PH⊥DE.∴PH⊥平面BCDE.而PH⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面BCDE，即平面PDE⊥平面ABCD.(2)由(1)可知，PH为四棱锥P－BCDE的高，∵DC綊AE，且AD＝AE＝2，∴四边形AECD为菱形．∴CE＝AD＝2.而EB＝1，EB⊥BC，∴BC＝＝，DE＝2.∴PH＝AH＝.∴VP－BCDE＝×PH×S梯形BCDE＝××(1＋2)×＝.12．如图所示，从三棱锥P－ABC的顶点P沿着三条侧棱PA、PB、PC剪开成平面图形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3.(1)在三棱锥P－ABC中，求证：PA⊥BC.(2)若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱锥P－ABC的体积．解：(1)证明：由题设知A、B、C分别是P1P3，P1P2，P2P3的中点，且P2P1＝P2P3，从而PB＝PC，AB＝AC，取BC的中点D，连AD、PD，则AD⊥BC，PD⊥BC，∴BC⊥面PAD.故PA⊥BC.(2)由题设有AB＝AC＝P1P2＝13，PA＝P1A＝BC＝10，PB＝PC＝P1B＝13，∴AD＝PD＝＝12，在等腰三角形DPA中，底边PA上的高h＝＝，∴S△DPA＝PA·h＝5，又BC⊥面PAD，∴VP－ABC＝VB－PDA＋VC－PDA＝BD·S△DPA＋DC·S△PDA＝BC·S△PDA＝×10×5＝.
