(时间60分钟,满分80分)一、选择题(共6个小题,每小题5分,满分30分)1.有一个几何体的三视图及其尺寸如右(单位:cm),则该几何体的表面积为()A.12πcm2B.15πcm2C.24πcm2D.36πcm2解析:该几何体是底面半径等于3,母线长等于5的圆锥,其表面积S表=π×3×5+π×32=24π(cm2).答案:C2.(·陕西高考)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.B.C.1D.2解析:由几何体的三视图知几何体是底面以1和为直角边的直角三角形,高为的直三棱柱,∴V=×1××=1.答案:C3.(·烟台模拟)已知一个实心铁质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为3的圆,将6个这样的几何体熔成一个实心正方体,则该正方体的表面积为()A.216B.216C.210D.210解析:由6××33=a3,∴a=6,∴S=6a2=216.答案:A4.圆台上、下底面面积分别是π、4π,侧面积是6π,这个圆台的体积是()A.πB.2πC.πD.π解析:上底半径r=1,下底半径R=2.∵S侧=6π,设母线长为l,则π(1+2)·l=6π,∴l=2,∴高h==,∴V=π·(1+1×2+2×2)=π.答案:D5.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是π,那么这个三棱柱的体积是()A.96B.16C.24D.48解析:由πR3=π,∴R=2,∴正三棱柱的高h=4,设其底面边长为a,则·a=2,∴a=4,∴V=(4)2·4=48.答案:D6.设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为m),则该几何体的体积为________m3.()A.4B.6C.2D.8解析:由三视图可知原几何体是一个三棱锥,且三棱锥的高为2,底面三角形的一边长为4,且该边上的高为3,故所求三棱锥的体积为V=××3×4×2=4m3.答案:A二、填空题(共3小题,每小题5分,满分15分)7.(·福建高考)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于________.解析:由正视图可知,该三棱柱是底面边长为2,侧棱长为1的正三棱柱,其表面积为2××4+3×2×1=6+2.答案:6+28.(·天津高考)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为________.解析:由三视图可知,原几何体是由上面一个正四棱锥,下面一个正四棱柱构成的,V=×2×2×1+1×1×2=.答案:9.(·昆山模拟)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱AA1的中点,若截面△BC1D是面积为6的直角三角形,则此三棱柱的体积为________.解析:由题意,设AB=a,AA1=b,再由BD·DC1=6可得a2+=12.又由BC2+CC=BC,得a2+b2=24,可得a=2,b=4,∴V=×(2)2×4=8.答案:8三、解答题10.如图,E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD的中点,沿图中虚线将边长为2的正方形折起来,围成一个三棱锥,求此三棱锥的体积.解:折叠起来后,B、D、C三点重合为S点,则围成的三棱锥为S-AEF,这时SA⊥SE,SA⊥SF,SE⊥SF,且SA=2,SE=SF=1,所以此三棱锥的体积V=··1·1·2=.11.直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,E为AB上的点,且AD=AE=DC=2,BE=1,将△ADE沿DE折叠到P点,使PC=PB.(1)求证:平面PDE⊥平面ABCD;(2)求四棱锥P-EBCD的体积.解:(1)证明:取BC中点G,DE中点H,连接PG,GH,HP.∵HG∥AB,∴HG⊥BC.又∵PB=PC,∴PG⊥BC.又∵HG∩PG=G,∴BC⊥平面PGH.又PH⊂平面PGH,∴PH⊥BC.∵PD=PE,H为DE中点,∴PH⊥DE.∴PH⊥平面BCDE.而PH⊂平面PDE,∴平面PDE⊥平面BCDE,即平面PDE⊥平面ABCD.(2)由(1)可知,PH为四棱锥P-BCDE的高,∵DC綊AE,且AD=AE=2,∴四边形AECD为菱形.∴CE=AD=2.而EB=1,EB⊥BC,∴BC==,DE=2.∴PH=AH=.∴VP-BCDE=×PH×S梯形BCDE=××(1+2)×=.12.如图所示,从三棱锥P-ABC的顶点P沿着三条侧棱PA、PB、PC剪开成平面图形得到△P1P2P3,且P2P1=P2P3.(1)在三棱锥P-ABC中,求证:PA⊥BC.(2)若P1P2=26,P1P3=20,求三棱锥P-ABC的体积.解:(1)证明:由题设知A、B、C分别是P1P3,P1P2,P2P3的中点,且P2P1=P2P3,从而PB=PC,AB=AC,取BC的中点D,连AD、PD,则AD⊥BC,PD⊥BC,∴BC⊥面PAD.故PA⊥BC.(2)由题设有AB=AC=P1P2=13,PA=P1A=BC=10,PB=PC=P1B=13,∴AD=PD==12,在等腰三角形DPA中,底边PA上的高h==,∴S△DPA=PA·h=5,又BC⊥面PAD,∴VP-ABC=VB-PDA+VC-PDA=BD·S△DPA+DC·S△PDA=BC·S△PDA=×10×5=.