限时作业56数学归纳法一、选择题1.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”第二步归纳假设应该写成()A.假设当n＝k(k∈N*)时,xk+yk能被x+y整除B.假设当n＝2k(k∈N*)时,xk+yk能被x+y整除C.假设当n＝2k+1(k∈N*)时,xk+yk能被x+y整除D.假设当n＝2k-1(k∈N*)时,xn+yn能被x+y整除答案:D2.用数学归纳法证明“(n∈N*,n＞1)”时,由n＝k(k＞1)时不等式成立,推证n＝k+1时,左边应增加的项数是…()k-1k-1C.2kk+1解析:左边的特点:分母逐渐增加1,末项为;由n＝k,末项为到n＝k+1,末项为,∴应增加的项数为2k.答案:C3.某个命题与自然数n有关,若n＝k(k∈N*)时该命题成立,那么可推得n＝k+1时该命题也成立,现已知当n＝5时该命题不成立,那么可推得()A.当n＝6时该命题不成立B.当n＝6时该命题成立C.当n＝4时该命题不成立D.当n＝4时该命题成立解析:若原命题正确,则其逆否命题正确,所以若n＝k(k∈N*)时该命题成立,那么可推得n＝k+1时该命题也成立;若n＝k+1时命题不成立,则n＝k时命题也不成立.答案:C4.已知数列{an}中,a1＝1,a2＝2,an+1＝2an+an-1(n∈N*),用数学归纳法证明a4n能被4整除,假设a4k能被4整除,应证()4k+1能被4整除4k+2能被4整除4k+34k+4能被4整除解析:题中求证a4n能被4整除,注意到n∈N*,由假设a4k能被4整除,可知这是n＝k时的情形,那么n＝k+1,则应证a4(k+1)＝a4k+4.答案:D5.观察下表:12343456745678910……设第n行的各数之和为Sn,则等于()A.2B.3C解析:第一行1＝12;第二行2+3+4＝9＝32;第三行3+4+5+6+7＝25＝52;第四行4+5+6+7+8+9+10＝49＝72.归纳:第n行的各数之和Sn＝(2n-1)2,∴.答案:C二、填空题4n+2+52n+1(n∈N)能被14整除时,当n＝k+1时,对于34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为__________________.解析:34(k+1)+2+52(k+1)+1＝34(34k+2+52k+1)-56·52k+1.答案:34(34k+2+52k+1)-56·52k+17.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图形中有___________个点.解析:观察题中图形点分布的变化规律.发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形中除中心点外还有两边,每边一个点;第三个图形中除中心点外还有三个边,每边两个点;…;依次类推,第n个图形中除中心点外还有n条边,每边n-1个点,故第n个图形中点的个数为n(n-1)+1.答案:n2-n+1三、解答题8.在数列{an}中,已知a1＝a(a＞1),且(n∈N*),求证:an＞1(n∈N*).证明:①当n＝1时,a1＝a＞1,不等式成立.②假设n＝k(k≥1)时,不等式成立,即ak＞1,则当n＝k+1时,.∵ak＞1,∴.∴ak+1＞1,即当n＝k+1时,不等式也成立.综合①②知,对一切n∈N*,都有an＞1.9.已知数列{an},an＞0,前n项和.(1)求a1,a2,a3的值;(2)猜想出通项an,并证明.解:(1)由已知得a1＝1,,.(2)猜想(n∈N*).证明:①当n＝1时,由上可知命题成立;②假设n＝k时命题成立,即成立.由得.代入假设,得,∴.∵ak+1＞0,∴.∴n＝k+1时也成立.综合①②知对任意n∈N*都成立.10.平面内n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点.(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线,猜想f(n)的表达式并给出证明;(2)求证:这n条直线把平面分成个区域.(1)解:f(2)＝4,f(3)＝9,f(4)＝16,….∴猜想f(n)＝n2.以下用数学归纳法证明:①当n＝2时,f(2)＝4＝22,猜想正确.②假设n＝k(k≥2)时猜想正确,即f(k)＝k2,则当n＝k+1时,这第k+5条直线与原来的k条直线分别相交,新增k个交点,它们分别把原来的一条线段或射线一分为二,使原来的k条直线新分割出k条线段或射线,又这k个交点还把第k+1条直线分割为k+1条线段或射线.∴当n＝k+1时,猜想也正确.根据①②知,对大于1的任意自然数n,猜想都正确.(2)证明:①当n＝1时,一条直线把平面分为两部分,而n＝1时,∴n＝1时命题正确.②假设n＝k时命题正确,即k条直线把平面分成个区域,则n＝k+1时,第k+1条直线被原来的k条直线截成k+1条线段或射线,而每一条线段或射线都把它们所占的一块区域一分为二,故新增加出k+1块区域,因此k+1条直线把平面共分成,即个区域.∴当n＝k+1时命题也成立.由①②可知,对任意的n∈N*,命题都成立.,n∈N*,试比较与的大小,并且说明理由.解:,而,∴与的大小等价于2n与n2的大小.当n＝1时,21＞12;当n＝2时,22＝22;当n＝3时,23＜32;当n＝4时,24＝42;当n＝5时,25＞52.猜想当n≥5时,2n＞n2.以下用数学归纳法证明:①当n＝5时,由上可知不等式成立;②假设n＝k(k≥5)时,不等式成立,即2k＞k2,则当n＝k+1时,2k+1＝2·2k＞2k2,又∵2k2-(k+1)2＝(k-1)2-2＞0(∵k≥5),即2k+1＞(k+1)2,∴n＝k+1时,不等式成立.综合①②对n≥5,n∈N*不等式2n＞n2成立.∴当n＝1或n≥5时,;当n＝3时,;当n＝2或4时,.
