一元二次方程根及系数的关系应用例析及训练一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1：已知关于的方程（1）等的实数根，且关于的方程（2）问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。解： 方程（1）有两个不相等的实数根，解得；有两个不相没有实数根， 方程（2）没有实数根，解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有当当解得：时，方程（1）为时，方程（1）为或，无整数根；，有整数根。所以，使方程（1）有整数根的的整数值是总结：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基。础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能第1页一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练--第1页一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练--第1页和一定的逻辑推理，从而筛选出技巧。，这也正是解答本题的基本二、判别一元二次方程两根的符号。例1：不解方程，判别方程分析：对于两根的符号。来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在及否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定解： 或的正负情况。，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为 ＜0，∴原方程有两个异号的实数根。总结：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根及系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中判定方程的根为一正一负；倘若＜0，所以可的正负，＞0，仍需考虑方可判别方程是两个正根还是两个负根。三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。例2：已知方程根及的值。第2页的一个根为2，求另一个一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练--第2页一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练--第2页分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根及系数的关系求出另一个根及的值。解法一：把即解得当解得：∴方程1。解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得： ∴把即解得∴方程1。总结：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。，∴把代入代入原方程，得：时，原方程均可化为：的另一个根为4，的值为3或—代入，可得：，可得：的另一个根为4，的值为3或—第3页一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练--第3页一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练--第3页例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。解： 方程有两个实数根，∴△解这个不等式，得≤0设方程两根为则整理得：解得：又 ，∴，后，还需注意隐含条件。，应总结：当求出舍去不合题意的四、运用判别式及根及系数的关系解题。例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请总结理由，解：因为关于的一元二次方程非零实数根，∴则有有两个第4页一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练--第4页一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练--第4页又 、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根及系数的关系，可得：假设、同号，则有两种可能：（1）若（2），则有：；即有：解这个不等式组，得 时方程才有实树根，∴此种情况不成立。，则有：若即有：解这个不等式组，得又 ，∴当；时，两根能同号总结：一元二次方程根及系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根及系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中及此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。第5页一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练--第5页一元二次方程根与系数的关系...
