中考数学易错题专题训练-直角三角形的边角关系练习题及答案解析一、直角三角形的边角关系1．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，OD垂直平分AC．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t(s)（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4st=；（2）PEGOS四边形2315688tt，(05)t；（3）52t时，PEGOS四边形取得最大值；（4）165t时，OEOQ.【解析】【分析】（1）当点E在∠BAC的平分线上时，因为EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE=EC，由此构建方程即可解决问题．（2）根据S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC）构建函数关系式即可．（3）利用二次函数的性质解决问题即可．（4）证明∠EOC=∠QOG，可得tan∠EOC=tan∠QOG，推出ECGQOCOG，由此构建方程即可解决问题．【详解】（1）在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，∴AC=22108=6（cm）， OD垂直平分线段AC，∴OC=OA=3（cm），∠DOC=90°， CD∥AB，∴∠BAC=∠DCO， ∠DOC=∠ACB，∴△DOC∽△BCA，∴ACABBCOCCDOD，∴61083CDOD，∴CD=5（cm），OD=4（cm）， PB=t，PE⊥AB，易知：PE=34t，BE=54t，当点E在∠BAC的平分线上时， EP⊥AB，EC⊥AC，∴PE=EC，∴34t=8-54t，∴t=4．∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上．（2）如图，连接OE，PC．S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC）=1414153154338838252524524ttttt=281516(05)33ttt．（3）存在． 28568(05)323Stt，∴t=52时，四边形OPEG的面积最大，最大值为683．（4）存在．如图，连接OQ． OE⊥OQ，∴∠EOC+∠QOC=90°， ∠QOC+∠QOG=90°，∴∠EOC=∠QOG，∴tan∠EOC=tan∠QOG，∴ECGQOCOG，∴358544345ttt，整理得：5t2-66t+160=0，解得165t或10（舍弃）∴当165t秒时，OE⊥OQ．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AC∥EF，证明见解析；（3）FG=．【解析】试题分析：（1）如图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；（2）AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF；（3）如图3所示，连接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度．试题解析：（1）如图1，连接OG． EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°， CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又 OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．（2）AC∥EF，理由为连接GD，如图2所示． KG2=KD•GE，即，∴，又 ∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK，∴∠E=∠AGD，又 ∠C=∠AGD，∴∠E=∠C，∴AC∥EF；（3）连接OG，OC，如图3所示， EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°， CD⊥AB...
