自考2324离散数学课后答案4.1习题参考答案--------------------------------------------------------------------------------1、在自然数集N中，下列哪种运算是可结合的()。a)、a*b=a-bb)a*b=max(a,b)c)、a*b=a+2bd)a*b=|a-b|根据结合律的定义在自然数集N中任取a,b,c三数，察看(a。b)。c=a。(b。c)是否成立？可以发现只有b、c满足结合律。晓津观点：b)满足结合律，分析如下：a)若有a,b,c∈N，则(a*b)*c=(a-b)-ca*(b*c)=a-(b-c)在自然数集中，两式的值不恒等，因此本运算是不可结合的。b)同上，(a*b)*c=max(max(a,b),c)即得到a，b,c中最大的数。a*(b*c)=max(a,max(b,c))仍是得到a,b,c中最大的数。此运算是可结合的。c)同上,(a*b)*c=(a+2b)+2c而a*(b*c)=a+2(b+2c),很明显二者不恒等，因此本运算也不是可结合的。d)运用同样的分析可知其不是可结合的。--------------------------------------------------------------------------------2、设集合A={1，2，3，4，...，10},下面定义的哪种运算，关于集合A是不封闭的?a)x*y=max(x,y)b)x*y=min(x,y);c)x*y=GCD(x,y),即x,y最大公约数；d)x*y=LCM(x,y)即x,y最小公倍数；d)是不封闭的。--------------------------------------------------------------------------------3、设S是非空有限集，代数系统<(s),∪,∩>中，(s)上，对∪的幺元为___φ___，零元为___S____，(s)上对∩的幺元为___S_____零元___φ____。--------------------------------------------------------------------------------4、设p,q,r是实数，*为R上二元运算↓a,b∈R，a*b=pa+qb+r，问*运算是否适合交换律、结合律和幂等律，是否有单位元和零元？并证明你的结论。其不满足交换律、满足结合律、不满足幂等律、无零元、无单位元晓津补充证明如下：(1)a*b=pa+qb+r而b*a=pb+qa+r当p,q取值不等时，二式不相等。因此*运算不满足交换律。(2)设a,b,c∈R则(a*b)*c=p(pa+qb+r)+qc+r=p^2a+pab+pr+qc+r而a*(b*c)=pa+q(pb+qc+r)+r=pa+qpb+q^2c+qr+r二式不恒等，因此*运算是不满足结合律的。(3)a*a=pa+qa+r≠a所以运算不满足幂等律。(4)反证法。设有单位元e,则应有a*e=pa+qe+r=a,e*a=pe+qa+r=a,可知e=(a-pa-r)/q或e=(a-qa-r)/p当p,q,r,a取值不同时，可得不同的e,这与单位元若有时只是唯一的定理相矛盾。(5)反证法。设有零元O,则应有a*O=pa+qO+r=O,O*a=pO+qa+r=O，同上分析，零元不止一个，因此与零元唯一的定理相矛盾。--------------------------------------------------------------------------------5、设代数系统
,其中A={a,b,c},*是A上的一个二元关系。对于以下定义所确定的运算，试分别讨论它们的交换性、等幂性，以及在A中关于*是否有幺元，如果有幺元，那么A中的每个元素是否有逆元。(a)(b)*abc*abcabcabcbcacababcabcbacccc(c)(d)*abc*abcabcabcabcabcabcabcbbcccb(a):可交换、具有幂等性、有幺元a、c是b的逆元晓津答案：可交换，但不具有幂等性。幺元e=a,表中有a*a=a,b*c=a,c*b=a,则可得a的逆元是a,b有逆元c,c有逆元b.(b):可交换、不具有幂等性、有幺元a,因为a*a=a,b*b=a,所以a有逆元a,b有逆元b.(c):不可交换、具有幂等性,无幺元。(d):可交换、不具有幂等性、有幺元a,a有逆元a.--------------------------------------------------------------------------------6、定义I+上两个二元运算为：a*b=a^ba△b=a.b,a,b∈I+,证明*对△是不可分配的。证明：设a,b,c∈I+a*(b△c)=a^(b.c)(a*b)△(a*c)=(a^b).(a^c)=a^(b+c)可见：a*(b△c)≠(a*b)△(a*c)根据：a*(b△c)≠(a*b)△(a*c)可知*对△是不可分配的--------------------------------------------------------------------------------7、设Zn={0,1,2,...,n-1},*是Zn上的二元运算，使得a*b=a.b/n的余数。构造n=4时，运算*的规则表。并证明对于任意n∈N,*在Zn上是可结合的。解：Zn={0,1,2,3}*012300000101232020230321晓津证明如下：(1)我们先证明n=1时,该运算*在Z1上的运算是可结合的：此时，设有a,b,c∈Z1则有a=0,b=0,c=0(a*b)*c=(((a.b)Modn).c)Modn=0a*(b*c)=(a.((b.c)Modn))Modn=0两式相等，因此当n=1时，*运算是...
