11计数问题一、素质教育目标知识教学点1．空间、平面、整数中的有关计数问题(二)能力训练点探索空间、平面、整数中的有关计数问题规律，掌握其解法。(三)德育渗透点学生学会用联系的观点看问题，把握空间、平面、整数中的有关计数问题的规律及解法，进一步提高分析问题和解决问题的能力。二、教学重点、难点、疑点及解决办法教学重点：空间、平面、整数中的有关计数问题。教学难点：空间、平面、整数中的有关计数问题的解法。解决方法：启发式．三、课时安排：1课时。四、教与学过程设计（一）计数问题的求解策略及注意事项：1．求解策略列举法；公式法。2．注意事项：在计数过程中，要防止遗漏和重复！（二）问题探究1．几何元素计数问题例1（1）凸n(n>4)边形的对角线有多少条？对角线最多有几个交点？（2nC-n=2)3(nn;4nC）（2）平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线上，过这9个点可以作80个三角形。例2．如图，在以AB为直径的半圆上，有异于A、B的6个点C1，C2，…，C6，AB上异于A、B的4个点D1，D2，D3，D4，问：以这10个点中的3个占为顶点作三角形可作多少个？其中含C1点有多少个？（34310CC=3624161426CCCCC=116；2414152529CCCCC=36）以图中12个点（含A，B）中的4个为顶点，可作出多少个四边形？（2612144824261436CCCCCCCC=360或2626361646CCCCC）例3．空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面，这12个点可决定多少个平面？（211）分析：可分四类考虑①5个共面点决定1个平面；②5个共面点中任何2个点和其余7个点任意一点决定725C；用心爱心专心③5个共面点中任何1个点和其余7个点任意两点决定527C；④7个点中任何3个点决定37C。由分类计数原理即可求得。例4．已知平面α∥β,在内有4个点，在内有6个点经过3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？（16242614CCCC+2=98）以这些点为顶点，最多可构成多少个三棱锥？（262416343614CCCCCC=194）上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？（26243634CCCC=114）2．整数的约数个数问题例5．求2700（=22×33×52）约数个数？3．其它计数问题（集合、映射个数等）例6．（1）（a+b）n展开式共有多少项？每一项的结构特点？(nr0=n+1,rrnrnbaC,r=0,1,2,…,n）（2）若A=｛1,2,3｝,B=｛0,-1,1｝,则使任意x∈A，且x+f(x)是偶数的映射f：AB的个数是多少？（9）分析：x,f(x)应同奇偶，分两大步完成：第一步：找出x∈A，且x是奇数的象f(x)的选取法有：23；（1，3，5的象可从中选）第二步：找出x∈A，且x是偶数的象f(x)的选取法有：1；（2，4的象只能取0）（3）设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中3个元素组成的子集数为T，则T/S=（1992年全国高考题）（310C/210=15/128）例7．《教学与测试》P277§71备用题6（三）小结计数问题求解方法。（四）作业：P142：1，2；6，8《教学与测试》P274§711．如图，除顶点O外，在∠AOB边OA上另有5个点，边OB上另有4个点，问以包含点O在内的10个点为顶点可组成多少个不同的三角形？（90）30030=2×3×5×7×11×13能被多少个不同的偶数整除？（32）两个同心圆，在外圆周上有不重合的6个点，在内圆周上有不重合的3个点，则由这9个点决定的直线最少有多少条？（B）A18B21C33D63提示：“最少”隐含的图形应为右图所示。24293CC+3=21四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱的中点中取3个点，使它们与点A共面，则不同的取法有多少个？（B）A30B33C36D39提示：353C+3=33，易漏掉3。用心爱心专心用心爱心专心
