§50数学思想在立体几何中的应用一、素质教育目标(一)知识教学点1．高中数学中的主要数学思想。2．本章所涉及的数学思想：（1）公理化思想；（2）空间问题平面化思想（化归与类比思想）；（3）分类讨论思想；（4）整体思想；（5）函数与方程思想；（6）极限思想；（7）体积变换思想。3．化归与类比思想、分类讨论思想、整体思想、函数与方程思想在立体几何中的应用。(二)能力训练点1．体会各种数学思想在解题中的作用。2．深刻领悟化归与类比思想、分类讨论思想、整体思想、函数与方程思想在立体几何中的应用。(三)德育渗透点1．进一步深刻体会空间问题与平面问题的相互转化。2．培养学生用运动变化的辩证唯物主义观点分析、解决问题。二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点：体验各种数学思想在解题中的应用。2．教学难点：怎样以数学思想为指导，准确选用数学方法解决具体问题。3．解决方法：启发引导式三、课时安排：1课时。四、教与学过程设计（一）复习回顾数学思想是数学知识在更高层次上的概括，它蕴含在每一个数学问题的发生、发展和应用的过程中，这节课我们来讨论数学思想在立体几何问题中的应用。我们经常提到的数学思想有哪些？（化归与类比思想、分类讨论思想、数形结合思想、整体思想、函数与方程思想。）（二）例题探究例1．在平行六面体中MA，MB，MC是交于一点M的三条棱，MD是六面体的一条对角线，求证：MD必过△ABC的重心。分析：由于△ABC的重心在中线AO上，而AO、DM在同一平面内，所以可将问题转化成平面AMPD的问题。易证四边形AMPD是平行四边形。可由△OMG∽△ADG得GO：AG=1：2。注：立体问题平面化思想。例2．如图，已知三棱锥P-ABC中，棱AC长为6，其余各棱长均为5，求此三棱锥的体积。分析：若用公式V=PO*S△ABC/3（其中PO是高）直接计算，将会遇到计算量繁杂的问题。如果能注意到只有棱AC长为6，其他棱长都是5，就可以过AC中点作平面把原三棱锥分成两个体积相等的小三棱锥，使问题转化为求小三棱锥的体积。取AC的中点D，则直线AC⊥面PBO，于是有VP-ABC=VA-PBD+VC-PBD=….=AC.S△PBD/3=。注：利用割补法进行体积变换的思想。用心爱心专心例3．如图（1），在三棱锥P-ABC中，三组对棱相等，且PA=13，PB=14，PC=15，求其体积。分析：可将图（1）的三棱锥补成图（2）的长方体，设AD=a,DB=b,DC=c,则a2+b2=152,c2+b2=132,a2+c2=142,…..,从而，VP-ABC=VAFPG-DBEC-4VA-BCD=abc/3=.注：以整体思想为指导，利用割补法进行体积变换的思想化难为易。例4．如图，已知PA⊥面ABC，AD⊥BC，垂足为D，且D在BC的延长线上，BC=CD=DA=1，记PD=x,∠BPC=θ,求tanθ的最大值。分析：PA⊥面ABC，AD是PD在石头平面ABC内的射影。又AD⊥BC，所以BD⊥PD，在Rt△PDB和Rt△PDC中，θ=∠BPD-∠CPD，又tan∠BPD=2/x,tan∠BPD=1/x,所以tanθ=tan（∠BPD-∠CPD）=….=x/(x2+2)(x>1)至此可用基本不等式求得最值。（三）小结：1．化归与类比思想：是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题变为简单问题，将繁难问题变为容易问题，将难求解问题变为易求解问题，将未解的问题转化为已解问题。2．分类讨论思想：是一种培养思维品质的调理性和概括性的数学思想方法，引起分类的因素有；概念、公式、性质、定理、参数变化、等价变换过程、几何图形不确定等。3，整体思想：是通过研究问题的整体形式、整体结构，并对其进行调节和转化使问题获解的一种方法。4．函数与方程思想：是指用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题。方程思想是从问题的数量关系分析入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，再通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。（四）练习：《教学与测试》相关习题五、作业：1．求证：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值。（体积法:a）2．在边长为a的正方体AC1中，点E为AB中点，求A1到平面DEB1的距离。（体积法：a）用心爱心专心
