12.3椭圆的标准方程一、教学内容分析本小节的重点是椭圆的概念，只要结合图形，抓住概念中的关键句“距离之和等于常数（大于两定点的距离）”，理解它并不困难.结合“距离之和等于常数（等于两定点的距离）”，“距离之和等于常数（小于两定点的距离）”来研究图形，加强对概念的理解.本小节的难点是椭圆标准方程的推导，在推导过程中应注意以下两点：1、“标准状态”的两层含义：1）椭圆的两个焦点均在坐标轴上，2）这两个焦点的中点（即中心）与原点重合，也就是说椭圆的标准方程是椭圆在最有利于问题解决的特殊位置的直角坐标系中的方程.2、化简方程时，应注意两次平方时的等价性.二、教学目标设计1、掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程．2、培养探索能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．3、激发学习数学的兴趣，提高审美情趣，培养勇于探索、敢于创新的精神，倡导合作学习.三、教学重点及难点椭圆的定义和椭圆的标准方程；椭圆标准方程的推导．四、教学方法探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．五、教学过程设计（一）创设情境，引入概念1、生活联想，有哪些是椭圆图形？2、实物演示：圆柱形水杯倾斜时的水面.思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？（二）实验探究，形成概念1、动手实验：以学生研究为主，教师辅助在黑板上尝试用绳子和图钉，动手画出椭圆.思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？2、概括椭圆定义引导学生概括椭圆定义用心爱心专心M2F1F椭圆定义：平面内与两个定点21,FF距离的和等于常数（大于21FF）的点的轨迹叫椭圆.教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.思考：焦点为21,FF的椭圆上任一点M，有什么性质？令椭圆上任一点M，则有)22(22121FFcaaMFMF，再思考：若ca22及ca22时，轨迹是什么？线段和无轨迹.（三）研讨探究，推导方程1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？2、研讨探究问题：如图已知焦点为21,FF的椭圆，且21FF=2c,对椭圆上任一点M，有aMFMF221，尝试推导椭圆的方程.思考：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？将各组学生的讨论方案归纳起来评议，选定以下两种方案，由各组学生自己完成设点、列式、化简.方案一方案二按方案一建立坐标系，师生研讨探究得到椭圆标准方程各组分别选定一种方案：（以下过程按照第一种方案）①建系：以21,FF所在直线为x轴，以线段21FF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.用心爱心专心xy1F2FMOxy1F2FMOM2F1F②设点：设),(1yxM是椭圆上任意一点，为了使21,FF的坐标简单以简化化简过程，设12||2(0)FFcc=>，则12(,0),(,0)FcFc-设M与两定点21,FF的距离的和等于a2③列式：12||||2MFMFa+=∴2222()()2,xcyxcya+++-+=④化简：（这里，教师为突破难点，进行设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？）2222()2()xcyaxcy++=--+两边平方，得：2222222()44()()xcyaaxcyxcy++=--++-+即222()acxaxcy-=-+两边平方，得：422222222()aacxcxaxcay-+=-+整理，得：22222222()()acxayaac-+=-令222(0)acbb-=>，则方程可简化为：222222bayaxb整理成：)0(12222babyax.（注意：两次平方时的等价性，可以根据学生的具体情况选择加以证明，或者不加证明的指出.）方程)0(12222babyax叫做椭圆的标准方程，焦点在x轴上，其坐标是)0,(),0,(21cFcF，其中222bac.讨论：如果以21,FF所在直线为y轴，线段21FF的垂直平分线为x轴，建立直角坐标系，用心爱心专心焦点是),0(),,0(21cFcF，椭圆的方程又如何呢？让按照另外方案推导椭圆标准方程的同学发言并演示动画进行讨论得出：)0(12222babxay为椭圆的另一标准方程．（四）归纳概括，方程特征1、观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；（2）椭圆标准方程形式：左边是两...
