８．2（2）向量的数量积（2）教学目标设计1．深刻领会向量的数量积的概念和运算性质、向量的夹角公式及其内涵、两向量垂直的充要条件；2．掌握求向量的长度、求两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法；3．初步运用向量的方法解决一些简单的几何问题，领略向量的数量积的数学价值；4．通过对问题的分析研究，体会数学思考的过程．教学重点及难点重点：向量的数量积的运算性质、向量的夹角公式、向量垂直的条件及其应用；难点：向量的夹角公式的应用.教学用具准备直尺，投影仪教学过程设计一．情景引入：1．复习回顾(1)两个非零向量的夹角的概念：对于两个非零向量，如果以为起点，作，那么射线的夹角叫做向量与向量的夹角，其中．(2)平面向量数量积（内积）的定义：如果两个非零向量的夹角为（），那么我们把叫做向量与向量的数量积，记做，即．并规定与任何向量的数量积为0．(3)“投影”的概念：定义：叫做向量在方向上的投影．投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为．1(4)向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影|的乘积．(5)向量的数量积的运算性质：对于，有（1）当且仅当时，＝（2）（3）（4）２．分析思考：(1)类比实数的运算性质，向量的数量积结合律是否成立？学生通过讨论，回答：一般不成立(2)如果一个物体在大小为２牛顿的力的作用下，向前移动１米，其所做的功的大小为１焦耳，问力的方向与运动方向的夹角是否为？分析：设该物体在力的作用下产生位移，所做的功为，与的夹角为，则由知二．学习新课:1.向量的夹角公式:在学习了向量数量积的定义之后，我们很容易推导出两个非零向量的夹角满足因此,当时,,反之,当时,.考虑到可与任何向量垂直,2所以可得：两个向量垂直的充要条件是．２.例题分析例1：化简:．(课本P66例2)解:===例2:已知,且与的夹角为,求．(课本P66例3)解:所以例3：已知,垂直,求的值．(课本P66例4)解：因为垂直，所以化简得即3由已知，可得解得．所以，当时，垂直．例4：已知、都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角．解：由①②两式相减：代入①或②得：设、的夹角为，则∴=60３.问题拓展例5．利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角．证明：设AB是⊙O直径，半径为r设,则;,则则，即∠ACB是直角．三．巩固练习1奎屯王新敞新疆已知,(1)若∥,求；4(2)若与的夹角为60°，求；(3)若与垂直，求与的夹角．2奎屯王新敞新疆已知,向量与的位置关系为（）A．平行B．垂直C．夹角为D．不平行也不垂直[来源:学|科|网]3奎屯王新敞新疆已知,与之间的夹角为，则向量的模为（）A．2B．2C．6D．124奎屯王新敞新疆已知与是非零向量，则是与垂直的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件四．课堂小结1．向量的数量积及其运算性质；２．两向量的夹角公式；３．两个向量垂直的充要条件；4．求向量的模、两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法．五．作业布置练习8.2(1)P67T2、T3、T4；P35T3、T4思考题1奎屯王新敞新疆已知向量与的夹角为，,则|+|·|-|=．2奎屯王新敞新疆已知+=2-8,-=-8+16,其中、是直角坐标系中轴、轴正方向上的单位向量，那么=．3奎屯王新敞新疆已知⊥、与、的夹角均为60°，且则＝______．4奎屯王新敞新疆对于两个非零向量与，求使最小时的t值，并求此时与的夹角．5奎屯王新敞新疆求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和奎屯王新敞新疆5教学设计说明及反思本节课是在上节课学习了向量的数量积的概念、向量的数量积的运算性质之后．再一次抛出物理模型问题，学生通过交流、分析．讨论，解决问题．进一步推而广之，由数量积的定义，通过变形十分容易的导出向量的夹角公式．并推出了两向量垂直的充要条件．之后，通过例题分析，学生体验了运用向量的数量积的定义和运算性质求向量的模、向量的夹角、以及研究一些简单几何问题的过程．学生获取了知识、掌握了方法、提高了技能、训练了能力．6
