高二数学上册 7.3《等比数列的前N项和》教案（1） 沪教版VIP专享VIP免费

7．3（3）等比数列的前n项和（1）一、教学内容分析《数列》是高中数学的重要内容之一．学习了数列的概念、等差数列的通项公式和前n项的求和公式、等比数列的通项公式等知识内容后，为过渡到本节的学习起着铺垫作用．研究等比数列前n项和的公式完整了数列体系，又为进一步学习数列求和、数列的极限等内容打下基础，有承前启后的作用．数列是函数的延续，它实质上是可以看作为一种特殊的函数，函数思想同样在本节渗透．等比数列求和在产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算中有着广泛的实际应用．学习数列需要观察、分析、猜想及综合运用其它知识解决数列中的一些问题，有利于学生数学能力的提高，是培养提高学生思维能力的好题材．二、教学目标设计1．进一步理解等比数列的前n项和公式的推导方法；2．掌握等比数列的前n项和公式及其初步应用；3．初步形成观察问题、灵活运用基本概念分析问题解决问题的能力；4．进一步树立理论联系实际的观点．三、教学重点及难点重点：等比数列的前n项和公式及其初步应用．难点：等比数列的前n项和公式的推导．四、教学用具准备实物投影仪五、教学流程设计六、教学过程设计实例引入建立数学模型反思抽象解决问题概念分析运用深化求解数学模型小结作业11、引入（1）印度国王西拉谟与国际象棋发明家的故事．相传国王要奖励国际象棋发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的64格中的第1格放入1粒麦粒，第2格放入2粒麦粒，第3格放入4粒麦粒，第4格放入8粒麦粒，依此类推，每一个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放完64个格子为止．”国王立即答应了．问国王将会给发明者多少粒麦粒？[说明]以小故事切入，具有趣味性，利用了学生的好奇心，也有利于知识的迁移，明确知识的现实应用．（2）建立数学模型．求麦粒的数目，实际上是什么数学问题呢？实际是计算1+2+4+8+…+（=）的值，即求以1为首项、以2为公比的等比数列的前64项的和．（2）求解数学模型．观察上式的特点，启发学生找到解决问题的方法．与等差数列类比．在推导等差数列的前n项和时，充分利用了公差，即，…，；另外又可以写为，，…，，这才有了逆序相加法．那么，对于等比数列是否也可以充分利用公比呢？方法一：每一项乘以2后都得到它的后一项．=1+2+4+8+…+，2=2+4+8+…++，两式右边有62项相同．相减，得方法二：逆向思考，提取2，就得到前一项．=1+2+4+8+…+=1+2=解得，2据查每千克小麦约10万粒，约吨．2004年世界粮食总产量为吨，因此相当于当今世界82年的粮食总产量．[说明]解决问题的关键是意识到的模型就是前63个格子里麦粒数目的和，即等比数列前64项的和．（4）反思抽象．以上解决了一个特殊等比数列前几项的和，那么对于一般的等比数列，我们可以提出什么问题呢？并加以解决．[说明]问题由学生提出，训练学生发现问题、提出问题的能力．一般地，设等比数列的公比为，则（5）解决问题．从特殊问题推广到一般问题，是否可以继续使用解决特殊问题的方法呢？试一试．[说明]板书时，可以利用前面的特殊化例子，将2改为即可，一方面可以节约时间和板书空间，另一方面让学生体会特殊性与一般性的关系．方法一：，相减，得，即当时，当时，，则方法二：=即，3当时，当时，，则（方法一和方法二完全是特殊化问题的翻版，可以让学生直接回答，进一步理解公式的推导方法和过程．）（6）讨论探究．同学们还有其它的解法吗？[说明]引起学生求胜心，激发积极性．启发引导学生自行完成．由等比数列的定义，得，运用比例的性质，，即当时，当时，，则2、概念分析（1）对问题结构的观察分析，不同的视角获得不同的解题方法．要勤思考．（2）方法一称为错位相减法．这是一种重要的解题方法，不仅仅在解决数列问题时有重要应用，而且在类似问题（如：函数）中也将发挥它的作用．我们既重视公式的应用，也要重视公式的推导方法．（重结论，也重过程．）（3）使用等比数列的前n项和公式，必须注意到公比是否等于1，与的公式形式是不一样的．（4）在时，求和公式将根据已知条件有不同的选择．，（5）求和公式中有5个量，结合等比数列的通项公式，分析得到：若已知其中...