“复数”全章小结知识梳理与题型归类一、重点、难点:1.复数的概念及其表示形式:()形如()的数称为复数,分别叫做复数的实部、虚部1abiabRab,,当时,表示实数;当时,表示虚数;babibabi00当,时,表示纯虚数,显然,纯虚数虚数,ababi00实数虚数复数C通常复数z的实部记作Rez;复数z的虚部记作Imz.两个重要命题:定理:复数是实数的充要条件是;1zzz定理:复数是纯虚数的充要条件是()200zzzz(2)复数的几何形式:复数集与平面上的点集之间能建立一一对应关系,故可用平面上的点来表示复数,一般地,可用点()表示复数,(),Za,ba+bia,bR或用向量表示复数OZabi.()复数相等:且3abicdiacbd.这是解决复数问题时进行虚实转化的工具:()共轭复数:与()互为共轭复数。4zabizabiabR,在复平面上,互为共轭复数的两个点关于实轴对称:另外zz||()复数的模:设在复平面上对应的点为(),则5zabiabRZab(,),把向量的模(即线段的长度)叫做复数的模。OZOZz||()zab220(6)共轭复数的运算性质:zzzzzzzzzzzzzzzz1212121212121212;;;()zzzzzznn()||||;22(7)复数的模的运算性质:||||||||||zzzzzzzzOZOZ1212121212(当与,对应的向量,同向时,右边的等号成立:当,反向时,左边的等号成立)OZOZ12||||||||||zzzzzz121212(取等号的情形与以上相反)||||||||||||.zzzzzzzzzznn12121212;;()关于复数与81232ii.iiiiiiiiinnnn4142243344411,,,322110,,;322110,,.2.复数的运算:用心爱心专心(1)四则运算法则(可类比多项式的运算)①加法:()()()(),,,abicdiacbdiabcdR②减法:()()()()abicdiacbdi③乘法:()()()()abicdiacbdbcadi④除法:…转化为乘法运算()()()()()()()abicdiabicdiabicdicdicdi简记为“分母实数化”。特例:()()()().abiabiabiiii22221212;,()开平方运算的平方根()可由22:()a+bix+yia,b,x,yRxyiabi利用复数相等的充要条件转化为解实方程组。(3)复数加法、减法的几何意义:复数的加法即向量的加法,满足平行四边形法则。复数减法即向量的减法,满足三角形法则。z1-z2对应的向量,是以z2的对应点为起点,指向z1的对应点的向量,|z1-z2|表示复平面内与z1,z2对应的两点的距离,如:|z-i|表示z与i的对应的点的距离;3.复数与方程:(1)含z的复数方程:可设出z的代数形式,利用复数相等转化为实方程组。(2)实系数一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0)△>0时,方程有两个不等实根;△=0时,方程有两个相等实根;△<0时,方程有两个互为共轭的虚根。韦达定理以及求根公式仍然适用。(3)复系数一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式不再适用,如x2-ix-2=0,△=7>0,但该方程并无实根。但韦达定理以及求根公式仍适用。[注]1.解决复数问题,注意虚实转化的方法。2.解决复数问题,注意充分利用共轭,模的运算性质。二.题型归类:复数的定义例1.若,且为负实数,求复数。||zzzzz1212分析:欲求z,只需求出其实部、虚部,为此,设出其代数形式,利用已知条件,列出关于实部、虚部的方程组。解:设()则由,得zabiabRzab,||1122zzzabiabiabi222121()()()()abaabbiabiab2222222()()abaaababbbabi222222222()()abaabbi2232为负实数abaabbabababab2222302011232123210或或用心爱心专心ziziz123212321或或。例2.设,求ziiiz()()()||431212412分析与解:利用模的运算性质,简化运算。||z22564复数的运算例3.计算:()()()()221323123129100100iiii分析与解:注意到...