椭圆的几何性质一、教学目标知识目标:通过椭圆标准方程的讨论,使学生掌握椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率),并能正确画出椭圆的图形。能说明离心率的大小对椭圆形状的影响能力目标:通过对椭圆的几何性质的教学,掌握利用方程研究曲线的基本方法,加深对曲线与方程关系的理解,培养学生分析问题和解决实际问题的能力.德育目标:使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解,综合运用方程(组)理论,提高代数运算能力,提高综合分析能力,揭示透过现象看本质的辩证唯物主义观念。美育渗透点用美学的眼光审视数学,数学中处处闪耀着美的光彩,椭圆代数方程闪耀着数学的简约美、方程形式的对称性显现数学的对称、均衡美.用数学的简约美去研究曲线几何性质的形象美,是学数学、用数学的重要目标。二、教学重、难点重点是椭圆的几何性质――范围、对称性、顶点、离心率、准线方程;根据方程研究曲线的几何性质的思路与方法;椭圆的几种画法。难点是椭圆的几何性质的推导,数形结合思想的贯彻,运用曲线方程研究几何性质。三.教学过程:(一)复习提问1.椭圆的定义是什么?2.椭圆的标准方程是什么?学生口述,教师板书.(二)、探索研究⑴研究曲线几何特征有何几何意义?研究曲线的几何性质可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置。(2)研究曲线的几何特征呢?通过对曲线方程的讨论来研究曲线的几何特征。(3)用椭圆的标准方程12222byax(0ba来研究椭圆的性质(1)范围:从标准方程得出122ax,122by,即有axa,byb,可知椭圆落在byax,组成的矩形中.(2)对称性:把方程中的x换成x方程不变,图象关于y轴对称.y换成y方程不变,图象关于x轴对称.把yx,同时换成yx,方程也不变,图象关于原点对称.用心爱心专心如果曲线具有关于x轴对称,关于y轴对称和关于原点对称中的任意两种,则它一定具有第三种对称原点叫椭圆的对称中心,简称中心.x轴、y轴叫椭圆的对称轴.从椭圆的方程中直接可以看出它的范围,对称的截距(3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点在椭圆12222byax的方程里,令0y得ax,因此椭圆和x轴有两个交点)0,(),0,(2aAaA,它们是椭圆12222byax的顶点令0x,得by,因此椭圆和y轴有两个交),0(),,0(2bBbB,它们也是椭圆12222byax的顶点因此椭圆共有四个顶点:)0,(),0,(2aAaA,),0(),,0(2bBbB加两焦点)0,(),0,(21cFcF共有六个特殊点.21AA叫椭圆的长轴,21BB叫椭圆的短轴.长分别为ba2,2ba,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点.至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围,对称性,顶点.因而只需少量描点就可以较正确的作图了.(4)离心率:椭圆的焦距与长轴的比cea叫椭圆的离心率. 0ac,∴01e,且e越接近1,c就越接近a,从而b就越小,对应的椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近于0,从而b越接近于a,这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时,0c,两焦点重合,图形变为圆,方程为222xya.(三)性质的应用例1求椭圆400251622yx的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.解:把已知方程化成标准方程1452222yx所以,345,4,522cba,用心爱心专心因此,椭圆的长轴的长和短轴的长分别为82,102ba,离心率53ace,两个焦点分别为)0,3(),0,3(21FF,椭圆的四个顶点是)0,5(),0,5(2AA,)4,0(),4,0(2BB将已知方程变形为22554xy,根据22554xy,在50x的范围内算出几个点的坐标),(yx:x012345y43.93.73.22.40先描点画出椭圆的一部分,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆:4-45-5xOy例2.合下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过点(3,0)P、(0,2)Q;(2)长轴长等于20,离心率等于35.解:(1)由题意,3a,2b,又 长轴在x轴上,所以,椭圆的标准方程为22194xy.(2)由已知220a,35cea,∴10a,6c,∴22210664b,所以,椭圆的标准方程为22110064xy或22110064yx.例3.如图,我国发射的第一颗人造地球...