4.7简单的指数方程一．教学内容分析本节内容是在学生学习了函数的基本性质，又研究了几个基本的初等函数之后学习的内容.指数方程是一种超越方程，以学生目前的知识只能解决一些常规类型的并且是简单的指数方程.因此这部分内容的学习，一是要求学生掌握简单的指数方程的解法，主要有换元法和取对数法，将指数方程转化为代数方程，利用已有的知识来解决问题，还有是利用指数函数的图像与性质来解决问题，二是要使学生感悟其中的等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等重要的数学思想，使学生学会研究问题的方法，学会学习.二．教学目标设计1.理解指数方程的概念，能求解简单的指数方程，能应用所学知识解决简单的实际问题2.通过回顾旧知、自主探究、合作交流，掌握简单的指数方程的基本解法，从中感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等重要的数学思想，逐步形成解决问题的思维模式，提高学习能力，改变学习方式.三．教学重点及难点重点：指数方程的概念、简单的指数方程的解法.难点：感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等数学思想与方法，学会研究问题的方法.四．教学用具准备常规教学用具五．教学流程设计用心爱心专心实例引入指数方程的概念解法转化转化换元法、取对数法数形结合、等价转化、观察论证等方法巩固与深化课堂总结六．教学过程设计一．情景引入1．思考：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%，问：若要使剩留量为原来的一半，约须经过多少年？2．回顾：方程的概念、已经学过有哪些方程.3．讨论：引例中的方程有何特点，该如何给指数方程下一个定义.二．学习新课1．概念辨析指数里含有未知数的等式叫做指数方程思考：方程：，方程：，方程：，方程：，方程：中，哪些是指数方程？2．例题分析由一元一次方程：，我们将未知数移到2的指数位置上，得到：，这是一个最简单的指数方程，我们就从最简单的指数方程开始，来研究简单的指数方程的一些基本解法例1．解方程：解：思路一，要解出，可以利用指对数互换得：思路二，要解出，即要把“拉下来”，可以考虑在方程两边取以2为底的对数得：用心爱心专心，利用对数运算性质得：思路三，可以考虑利用同底的指数幂相等，则它们的幂指数相等，化同底，由对数中的恒等式得：，得：由学生总结解题的方法，并解决引例中的问题老师指出：解决这类方程的三种思路中，都是等价转化的思想，其实质是利用对数的意义把在指数位置上的变量“拉下来”，从而解决问题，因此这类方程的解法可以归类为“取对数法”.巩固练习：解方程：（1）（2）解：（1）原方程的解为：（可用上例中的方法解决问题，解略）解：（2）两边取以3为底的对数（也可以5为底或以10为底）得：得原方程的解为：[说明]这个练习，是让学生熟悉上述例1中的基本思路，学生讨论解决，老师评讲.例2．解方程：解：（让学生观察方程的结构特点，注意到之间的关系，通过换元，将此方程化为一元二次方程来解决问题.这里要注意换元后新变量的范围）令（舍），即，得原方程的解为：由学生总结解题方法强调：在解指数方程时，换元法是很重要的一种方法，它可以使复杂的方程化为你所熟悉的方程去解决.巩固练习：解方程：解：原方程化为：，令，得：，即，故原方程的解为：.（学生练习，老师评讲）3．问题拓展用心爱心专心引导学生讨论、总结上述指数方程的几种基本类型及解法（1）（2）（3）（一般可取常用对数）（4），换元，令，注意新变量范围，将原方程化为关于的代数方程，解出，解出[说明]前三类方程都可以取对数解决，第四类是换元法解决，注意解法中等价转化的思想进一步拓展例3．解方程：解：引导学生观察得出方程有一个根：，问；还有其它的根吗？我们可以将原方程化为：，令，由指数函数的性质知：函数上单调递减，则当时，，即原方程中没有大于2的根，同样，当时，，即原方程中没有小于2的根，得原方程的解为：老师总结：此题的思路是用函数与方程的思想，将方程问题转化为函数问题，利用函数的性质，通过观察论证解决问题.函数与方程有必然的联系，方程的解就是函数图像与x轴交点的横坐标，也可将函数看作...
