第一课时 两角和与差的余弦VIP免费

第一课时两角和与差的余弦教学目标：掌握两角和与差的余弦公式，能用公式进行简单的求值；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.教学重点：余弦的差角公式及简单应用教学难点：余弦的差角公式的推导教学过程：.Ⅰ课题导入在前面咱们共同学习了任意角的三角函数，在研究三角函数时，我们还常常会遇到这样的问题：已知任意角α、β的三角函数值，如何求α＋β、α－β或2α的三角函数值?即：α＋β、α－β或2α的三角函数值与α、β的三角函数值有什么关系?.Ⅱ讲授新课接下来，我们继续考虑如何把两角差的余弦cos（α－β）用α、β的三角函数来表示的问题.在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α、β，其终边分别与单位圆交于P1（cosα，sinα）、P2（cosβ，sinβ），则∠P1OP2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β＜π的情况.设向量a＝OP1＝（cosα，sinα），b＝OP2＝（cosβ，sinβ），则：a·b＝︱a︱︱b︱cos（α－β）＝cos（α－β）另一方面，由向量数量积的坐标表示，有a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ所以：cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ（C（α－β））两角和的余弦公式对于任意的角α、β都是成立的，不妨，将此公式中的β用－β代替，看可得到什么新的结果?cos［α－（－β）］＝cosαcos（－β）－sinαsin（－β）＝cosαcosβ－sinαsinβ即：cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ（C（α＋β））请同学们观察这一关系式与两角差的余弦公式，看这两式有什么区别和联系?(1)这一式子表示的是任意两角α与β的差α－β的余弦与这两角的三角函数的关系.(2)这两式均表示的是两角之和或差与这两角的三角函数的关系.请同学们仔细观察它们各自的特点.(1)两角之和的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的差.(2)两角之差的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的和.不难发现，利用这一式子也可求出一些与特殊角有关的非特殊角的余弦值.如：求cos15°可化为求cos（45°－30°)或cos（60°－45°）利用这一式子而求得其值.即：cos15°＝cos（45°－30°）＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝·＋·＝用心爱心专心或：cos15°＝cos（60°－45°）＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝·＋·＝请同学们将此公式中的α用代替，看可得到什么新的结果?cos（－α）＝coscosα＋sinsinα＝sinα即：cos（－α）＝sinα再将此式中的α用－α代替，看可得到什么新的结果.cos［－（－α）］＝cosα＝sin（－α）即：sin（－α）＝cosα.Ⅲ课堂练习1.求下列三角函数值cos①（45°＋30°）②cos105°解：①cos（45°＋30°）＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝·－·＝cos②105°＝cos（60°＋45°）＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝·－·＝2.若cosαcosβ＝－，cos（α＋β）＝－1，求sinαsinβ.解：由cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ得：sinαsinβ＝cosαcosβ－cos（α＋β）将cosαcosβ＝－，cos（α＋β）＝－1代入上式可得：sinαsinβ＝3.求cos23°cos22°－sin23°sin22°的值.解：cos23°cos22°－sin23°sin22°＝cos（23°＋22°）＝cos45°＝4.若点P(－3，4)在角α终边上，点Q（－1，－2）在角β的终边上，求cos（α＋β）的值.解：由点P（－3，4）为角α终边上一点；点Q（－1，－2)为角β终边上一点，得：cosα＝－，sinα＝；cosβ＝－，sinβ＝－.cos∴（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝（－）×（－）－×（－）＝5.已知cos（α－β）＝，cos（α＋β）＝－，求：tanα·tanβ的值.解：由已知cos（α－β）＝，cos（α＋β）＝－可得：cos（α－β）＋cos（α＋β）＝－＝即：2cosαcosβ＝①cos（α－β）－cos（α＋β）＝1即：2sinαsinβ＝1②由②÷①得＝tanα·tanβ＝tan∴α·tanβ的值为.6.已知cosα－cosβ＝，sinα－sinβ＝－，求：cos（α－β）的值.解：由已知cosα－cosβ＝得：cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝①由sinα－sinβ＝－得：sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝②用心爱心专心由①＋②得：2－2（cosαcosβ＋sinαsinβ）＝即：2－2cos（α－β）＝cos∴（α－β）＝.Ⅳ课时小...