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第一课时 两角和与差的余弦VIP免费

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第一课时两角和与差的余弦教学目标:掌握两角和与差的余弦公式,能用公式进行简单的求值;培养学生的应用意识,提高学生的数学素质.教学重点:余弦的差角公式及简单应用教学难点:余弦的差角公式的推导教学过程:.Ⅰ课题导入在前面咱们共同学习了任意角的三角函数,在研究三角函数时,我们还常常会遇到这样的问题:已知任意角α、β的三角函数值,如何求α+β、α-β或2α的三角函数值?即:α+β、α-β或2α的三角函数值与α、β的三角函数值有什么关系?.Ⅱ讲授新课接下来,我们继续考虑如何把两角差的余弦cos(α-β)用α、β的三角函数来表示的问题.在直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边分别作角α、β,其终边分别与单位圆交于P1(cosα,sinα)、P2(cosβ,sinβ),则∠P1OP2=α-β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数,所以,我们只需考虑0≤α-β<π的情况.设向量a=OP1=(cosα,sinα),b=OP2=(cosβ,sinβ),则:a·b=︱a︱︱b︱cos(α-β)=cos(α-β)另一方面,由向量数量积的坐标表示,有a·b=cosαcosβ+sinαsinβ所以:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β))两角和的余弦公式对于任意的角α、β都是成立的,不妨,将此公式中的β用-β代替,看可得到什么新的结果?cos[α-(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ即:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(C(α+β))请同学们观察这一关系式与两角差的余弦公式,看这两式有什么区别和联系?(1)这一式子表示的是任意两角α与β的差α-β的余弦与这两角的三角函数的关系.(2)这两式均表示的是两角之和或差与这两角的三角函数的关系.请同学们仔细观察它们各自的特点.(1)两角之和的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的差.(2)两角之差的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的和.不难发现,利用这一式子也可求出一些与特殊角有关的非特殊角的余弦值.如:求cos15°可化为求cos(45°-30°)或cos(60°-45°)利用这一式子而求得其值.即:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=·+·=用心爱心专心或:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°=·+·=请同学们将此公式中的α用代替,看可得到什么新的结果?cos(-α)=coscosα+sinsinα=sinα即:cos(-α)=sinα再将此式中的α用-α代替,看可得到什么新的结果.cos[-(-α)]=cosα=sin(-α)即:sin(-α)=cosα.Ⅲ课堂练习1.求下列三角函数值cos①(45°+30°)②cos105°解:①cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=·-·=cos②105°=cos(60°+45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45°=·-·=2.若cosαcosβ=-,cos(α+β)=-1,求sinαsinβ.解:由cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ得:sinαsinβ=cosαcosβ-cos(α+β)将cosαcosβ=-,cos(α+β)=-1代入上式可得:sinαsinβ=3.求cos23°cos22°-sin23°sin22°的值.解:cos23°cos22°-sin23°sin22°=cos(23°+22°)=cos45°=4.若点P(-3,4)在角α终边上,点Q(-1,-2)在角β的终边上,求cos(α+β)的值.解:由点P(-3,4)为角α终边上一点;点Q(-1,-2)为角β终边上一点,得:cosα=-,sinα=;cosβ=-,sinβ=-.cos∴(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=(-)×(-)-×(-)=5.已知cos(α-β)=,cos(α+β)=-,求:tanα·tanβ的值.解:由已知cos(α-β)=,cos(α+β)=-可得:cos(α-β)+cos(α+β)=-=即:2cosαcosβ=①cos(α-β)-cos(α+β)=1即:2sinαsinβ=1②由②÷①得=tanα·tanβ=tan∴α·tanβ的值为.6.已知cosα-cosβ=,sinα-sinβ=-,求:cos(α-β)的值.解:由已知cosα-cosβ=得:cos2α-2cosαcosβ+cos2β=①由sinα-sinβ=-得:sin2α-2sinαsinβ+sin2β=②用心爱心专心由①+②得:2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=即:2-2cos(α-β)=cos∴(α-β)=.Ⅳ课时小...

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