第2课 数列的概念及其通项公式VIP免费

听课随笔第2课时数列的概念及其通项公式【学习导航】知识网络学习要求1．进一步理解数列概念，了解数列的分类；2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；3．了解地推数列的概念；【自学评价】1．数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项。4．数列的分类：按的增减分类：（i）递增数列：，总有；（ii）递减数列：，总有；(iii)摆动数列，有，也有，例如；（iv）常数列：，；（v）有界数列：存在正整数使；（vi）无界数列：对任意正整数总存在使．5．递推数列：如果已知数列的前一项（或前几项），且任意一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个数列叫递推数列，这个公式叫这个数列的递推公式．递推公式是给出数列的一种重要方式．【精典范例】【例1】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）（3）9，99，999，9999【解】(1)这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是：；(2)这个数列的前4项每一项都可以分为整数部分与分数部分的和,所以它的一个通项公式是：(3)这个数列的前4项每一项加1后变成所以它的一个通项公式是：【例2】已知数列｛an｝的递推公式是an＋2＝3an＋1－2an，且a1＝1，a2＝3，求数列的前5项，并推测数列｛an｝的通项公式.【解】由a1=1,a2=3,an+2=3an+1－2an得a3＝3a2－2a1＝3×3－2×1＝7a4＝3a3－2a2＝3×7－2×3＝15a5＝3a4－2a3＝3×5－2×7＝31……可推测an＝2n－1.【例3】设，其中为数列的前项和，已知数列的前项和，求该数列的通项公式。分析：由于与的关系是因而已知求时，常用的解题策略是先求再将用表示，但由于=只能求出数列的第二项及以后各项，故特别要注意验证的情形是否满足=，若满足，则是关于的一个式子，否则写成分段函数的形式．【解】【追踪训练一】1．已知an+1=an+3，则数列{an}是（A）A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列2．已知数列{an}满足a1＞0，且an+1=an,则数列{an}是（B）A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列3．数列1，3，6，10，15，……的递推公式是（B）A.项数数列数列定义项数列有关概念数列与函数的关系数列通项公式通项听课随笔B.C.D.4．设凸n边形的对角线条数为f(n),则f(3)=______;f(n+1)=______(用f(n)表示).【解析】显然f(3)=0f(n+1)=f(n)+(n－1)【答案】0f(n)+n－1【选修延伸】【例4】已知数列的通项为,问:(1).数列中有多少项为负数？(2).为何值时,有最小值？并求此最小值．分析：数列的通项公式可看成，利用二次函数的性质解决问题．【解】（1）n=2或3共2项（1）n=2或3时有最小值-2点评:数列的项与项数之间构成特殊的函数关系，用函数的有关知识解决问题时，要考虑定义域为正整数这一约束条件．【追踪训练二】1.已知数列{an}的首项，a1=1,且an=2an－1+1(n≥2),则a5为（D）A.7B.15C.30D.312.数列｛－2n2+29n+3｝中最大项的值是（B）A.107B.108C.108D.1093.若数列{an}满足a1=,an=1－,n≥2，n∈N*,则a2003等于（B）A.B.－1C.2D.14.已知数列{an}的递推公式为n∈N*,那么数列{an}的通项公式为______.【解析】由a1=1,且an+1=知a2=,a3=,a4=∴an=【答案】an=【师生互动】学生质疑教师释疑