第16课时 直线与平面垂直的判定（一）VIP免费

第16课时直线与平面垂直的判定与性质（一）教学目标：使学生能够利用等价转化的思想证明立体几何问题，提高学生逻辑思维能力，培养学生由图形想象出位置关系的能力；利用所学知识解释生活现象，激发学生学习数学积极性，能辩证地看待问题，学会分析事物间关系，进而选择解决问题途径。教学重点：直线和平面垂直的判定。教学难点：判定定理的证明。教学过程：1．复习回顾：［师］直线和平面平行的判定方法有几种？［生］可利用定义判断，也可依判定定理判断.2．讲授新课：1.直线和平面垂直的定义［师］该章的章图说明旗杆与其影子之间构成的几何图形，请同学思考，随着时间的变化，影子在移动，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？［讨论、观察片刻，提醒学生从位置关系去分析，师可用电筒照射一杆，让学生得出结论］进而提醒学生观察右图。［生］由图形可知，旗杆与地面内任意一条径B的直线垂直（若先回答射影，可引导其抽象为直线）师进一步提出：那么旗杆所在线与平面内不经过B点的线位置如何呢？依据是什么？［生］垂直.依据是异面直线垂直定义.生在师的诱导下，尝试地给出直线和平面垂直的定义：如果一条直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直.可记作l⊥α其中直线l叫平面α的垂线.平面α叫直线l的垂面.［师］“任意一条直线”，说明直线l必须和平面内的所有直线都具有垂直关系.不能理解成无数条线，必须是全部.同学可找一反例说明.［生］当一条直线和一平面内一组平行线垂直时，该直线不一定和平面垂直.（可举教材中每一行字看成平行线，当钢笔与其垂直时，不一定钢笔就与教材所在面垂直）［师］若l∥α或lα，则l此时不会和α内任意一条直线垂直，由此，当l与α具有l⊥α关系时，直线l一定和α相交.直线和平面垂直时，它们惟一的公共点，即交点叫垂足.师进一步给出直线与平面垂直时，直观图的画法.（师生共同规范地画出直线与平面垂直关系）画直线与水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直l⊥α点P是垂足让学生观察投影片中所给四个图形，能得出什么结论.经师诱导，生得到结论.［生］图（1）、（2）说明经过空间一点P作α的垂线只有一条，图（3）、（4）说明，经过空间一点P作l的垂面只有一个.除定义外，直线和平面垂直的判定还有什么方法呢？2.直线和平面垂直的判定例1：求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.已知：a∥b，a⊥α求证：b⊥α分析：要证b⊥α，需证b与α内任意一条直线m垂直.运用等价转化思想证明与b平行的线a垂直于m，则需依题设直线m存在.进而运用线垂直于面线垂直于面内线完成证明.学生依图，及分析写出证明过程证明：设m是α内的任意一条直线［此结论可以直接利用，判定直线和平面垂直］给出判定定理，学生思考证明途径.直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.已知：mα，nα，m∩n=B，l⊥m，l⊥n.求证：l⊥α.分析：此定理要证明，需达到l⊥α关系.而由定义知只要能设法证明l垂直于α内任一条直线即可，不妨设此线为g，则需证l⊥g就可以.证明l⊥g较困难，同学可考虑线段垂直平分线性质.学生先思考，如何先确定线位置.由于已知条件中有m∩n=B,所以可先从l、g都通过点B的情况证起，然后再推广到其他情形，也可看成是分类讨论思想渗透.证明过程学生可先表述，然后共同整理.证明：设g是平面α内任一直线.（1）当l、g都通过点B时，在l上点B的两侧分别取点A、A′，使AB=A′B，则由已知条件推出m、n都是线段AA′的垂直平分线.1°g与m（或n）重合那么依l⊥m（或l⊥n）可推出l⊥g.2°g与m（或n）不重合，那么在α内任作一线CDm∩CD=C,n∩CD=D,g∩CD=E连结AC、A′C、AD、A′D、AE、A′E. AC=A′C，AD=A′D，CD=CD，∴△ACD≌△A′CD,得∠ACE=∠A′CE即△ACE≌△A′CE,那么AE=A′E∴g是AA′的垂直平分线，于是l⊥g（2）当l、g不都通过点B时过点B作l′、g′，使l′∥l，g′∥g同理可证l′⊥g′，因而l⊥g综上所述，无论l、g是否通过点B，总有l⊥g.由于g是平面α内任一直线，因而得l⊥α［l、g不都...