第一节圆的方程（1）【学习导航】知识网络学习要求1．认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法；2．掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径；3．能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程．【课堂互动】自学评价1.以为圆心，为半径的圆的标准方程：.2.圆心在原点，半径为时，圆的方程则为：；3.单位圆：圆心在原点且半径为１的圆；其方程为：．注意：交代一个圆时要同时交代其圆心与半径．【精典范例】例1：分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径：⑴；⑵⑶⑷⑸【解】（如下表）方程圆心半径点评：本题考察了对圆的标准方程的认识，根据圆的标准方程，可以写出相应的圆的圆心与半径．例2：（１）写出圆心为，半径长为的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上；（２）求圆心是，且经过原点的圆的方程．分析：通过圆心，半径可以写出圆的标准方程．【解】（１）∵圆心为，半径长为，∴该圆的标准方程为：．把点代入方程的左边，＝右边，即点的坐标适合方程，∴点是这个圆上的点；把点的坐标代入方程的左边，圆的标准方程概念单位圆圆的标准方程的简单运用听课随笔．即点坐标不适合圆的方程，∴点不在这个圆上．（２）法一：∵圆的经过坐标原点，∴圆的半径为：，因此所求的圆的方程为：，即．法二：∵圆心为，∴设圆的方程为，∵原点在圆上即原点的坐标满足圆方程即，所以，∴所求圆的标准方程为：．点评：本题巩固了对圆的标准方程的认识，第二小题的解题关键在于求出半径，这里提供了两种方法．例3：（１）求以点为圆心，并且和轴相切的圆的方程；（２）已知两点，，求以线段为直径的圆的方程．分析：（１）已知与圆心坐标和该圆与轴相切即可求出半径．（２）根据为直径可以得到相应的圆心与半径．【解】（１）∵圆与轴相切∴该圆的半径即为圆心到轴的距离；所以圆的标准方程为：．（２）∵为直径，∴的中点为该圆的圆心即，又因为，所以，∴圆的标准方程为：．点评:本题的解题关键在于由已知条件求出相应的圆心与半径．对圆的标准方程的有一个加深认识的作用．例４：已知隧道的截面是半径为的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为，高为的货车能不能驶入这个隧道？分析：建立直角坐标系，由图象可以分析，关键在于写出半圆的方程，对应求出当时的值，比较得出结论．【解】以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径所在的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程为：将代入得，即离中心线处，隧道的高度低于货车的高度，因此，该货车不能驶入这个隧道．点评：本题的解题关键在于建立直角坐标系，用解析法研究问题．思考：假设货车的最大的宽度为，那么货车要驶入高隧道，限高为多少？解：将代入得，即限高为．追踪训练一1.写出下列各圆的方程：（１）圆心在原点，半径为；（２）经过点，圆心为．【解】（１）；（２）．２．求以点为圆心，并且和轴相切的圆的方程．【解】由题意：半径，所以圆的方程为：．３.圆的内接正方形相对的两个顶点为，，求该圆的方程．【解】由题意可得为直径，所以的中点为该圆的圆心即又因为∴，∴圆的标准方程为：．４．求过两点，，且圆心在直线上的圆的标准方程．【解】设圆心坐标为，圆半径为，则圆方程为，∵圆心在直线上，∴①又∵圆过两点，，∴②且③由①、②、③得：，∴圆方程为．思维点拔：由圆的标准方程即可写出由圆心坐标及圆的半径，反之，由圆心坐标及圆的半径即可写出圆的标准方程．在解具体的题目时，要灵活运用平面几何及前面所学直线的有关知识．学生质疑教师释疑听课随笔听课随笔
