安徽省滁州二中高二数学《222反证法》教案新人教A版选修2-2教学目的:搞清函数的反证法,了解反证法是间接证明的一种方法,理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题.教学重点:反证法的解题思想教学难点:反证法的解题步骤.教学过程:用反证法证明否定性命题例1已知三个正数,,abc成等比数列,但不成等差数列,求证:,,abc不成等差数列.证明:假设,,abc成等差数列,则2,acb即24acacb,而2bac,即bac,20ac,即ac.从而abc,与,,abc不成等差数列矛盾,故,,abc不成等差数列.点评:结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题的反面比较具体,适用反证法.(2)反证法属于“间接解题的方法”书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”.二、用反证法证明唯一性问题例2一点A和平面.求证:经过点A只能有一条直线和平面垂直.证明:根据点A和平面的位置关系,分两种情况证明.(1)如图(1),点A在平面内,假设经过点A至少有平面的两条垂线AB、AC,那么AB、AC是两条相交直线,它们确定一个平面,平面和平面相交于经过点A的一条直线a.因为AB平面,AC平面,a,所以,ABaACa,在平面内经过点A有两条直线都和直线a垂直,这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾.aCBA(2)如图(2),点A在平面外,假设经过点A至少有平面的两条垂线AB和AC(B、C为垂1足),那么AB、AC是两条相交直线,它们确定一个平面,平面和平面相交于直线BC,因为AB平面,AC平面,ACa,BC,所以,ABBCACBC.在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直,这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾.综上,经过一点A只能有平面的一条垂线.CBAa三、用反证法证明“至多”或“至少”类问题.例3已知1112,,,PPqqR,且12122()Ppqq,求证:方程2110xpxq和2220xpxq中,至少有一个方程有实根证明:假设两个一元二次方程都没有实根,那么它们的判别式都小于零,即2211111222222404404pqpqpqpq,2221124()ppqq,把12122()Ppqq代入上式,得22211220pppp,即212()0pp。这与“任何实数的平方为非负数”相矛盾,所以假设不成立。故这两个方程中,至少有一个方程有实根.点评;对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时,常用反证法.常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表:原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有至少有两个至多有1n个至少有1n总结归纳:课后练习:设,,abc均为实数,且2222,2,2236axybyzczx,求证:,,abc中至少有一个大于零.2