安徽省滁州二中高二数学《222 反证法》教案 新人教A版选修2-2VIP免费

安徽省滁州二中高二数学《222反证法》教案新人教A版选修2-2教学目的：搞清函数的反证法，了解反证法是间接证明的一种方法，理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.教学重点：反证法的解题思想教学难点：反证法的解题步骤.教学过程：用反证法证明否定性命题例1已知三个正数,,abc成等比数列，但不成等差数列，求证：,,abc不成等差数列.证明：假设,,abc成等差数列，则2,acb即24acacb，而2bac，即bac，20ac，即ac.从而abc，与,,abc不成等差数列矛盾，故,,abc不成等差数列.点评：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题的反面比较具体，适用反证法.（2）反证法属于“间接解题的方法”书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”.二、用反证法证明唯一性问题例2一点A和平面.求证：经过点A只能有一条直线和平面垂直.证明：根据点A和平面的位置关系，分两种情况证明.（1）如图（1），点A在平面内，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB、AC，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于经过点A的一条直线a.因为AB平面，AC平面，a，所以,ABaACa，在平面内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾.aCBA（2）如图（2），点A在平面外，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB和AC（B、C为垂1足），那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于直线BC，因为AB平面，AC平面，ACa，BC，所以,ABBCACBC.在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾.综上，经过一点A只能有平面的一条垂线.CBAa三、用反证法证明“至多”或“至少”类问题.例3已知1112,,,PPqqR，且12122()Ppqq，求证：方程2110xpxq和2220xpxq中，至少有一个方程有实根证明：假设两个一元二次方程都没有实根，那么它们的判别式都小于零，即2211111222222404404pqpqpqpq，2221124()ppqq，把12122()Ppqq代入上式，得22211220pppp，即212()0pp。这与“任何实数的平方为非负数”相矛盾，所以假设不成立。故这两个方程中，至少有一个方程有实根.点评；对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法.常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有至少有两个至多有1n个至少有1n总结归纳：课后练习：设,,abc均为实数，且2222,2,2236axybyzczx，求证：,,abc中至少有一个大于零.2