【鼎尖教案】人教版高中数学选修系列：4.2复数的运算(备课资料)备课资料(一)补充例题［例1］已知f(z)=2z+z-3i,f(z+i)=6-3i,求f(-z)的值.分析：欲求f(-z)的值，说明z一定是一个常数，由已知所给的条件可观察出，实质上是通过复合函数的求法建立以z为变量的复数方程来求解z.解： f(z)=2z+-3i,∴f(+i)=2(+i)+-3i=2+z-2i,又f(+i)=6-3i,2∴+z-2i=6-3i,即2+z=6-i.设z=a+bi(a、bR),∈则将=a-bi代入上式得3a-bi=6-i.由两复数相等的充要条件得z=2+i.∴故f(-z)=f(-2-i)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.解题回顾：本题是牵涉面较广的一道题，我们在学习过程中，一定要注意知识之间的横、纵联系.［例2］已知复数z1、z2满足｜z1｜=｜z2｜=1,z1+z2=,求z1、z2值.分析一：由已知｜z1｜=1可设出z1=a+bi(a、bR),∈代入z1+z2求出z2.再根据｜z2｜=1又得出一实数方程，联立即可求解.解法一：设z1=a+bi(a、bR),∈则a2+b2=1.z 1+z2=,z∴2=-a+(-b)i. ｜z2｜=1,∴,即a+b=1.将a=1-b代入①,解得b=0或.将b=0代入②得a=1;将代入②得.∴或.分析二：从几何角度入手分析这个题，由于｜z1｜=｜z2｜=｜z1+z2｜=1，所以z1、z2、z1+z2所对应的点都在以原点为圆心，1为半径的圆上.再结合z1+z2实部、虚部的特殊性不难从图中直接观察出z1或z2.解法二：由｜z1｜=｜z2｜=｜z1+z2｜=1,故z1、z2、z1+z2均在网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网1图4-5单位圆上，如图,由z1+z2=+,不难找出相应点为Z.又因z1+z2实部是,故图中θ=6°.又｜z1｜=｜z2｜=1，z1+z2对应，又是和向量，所以可看出z1=1或z2=1,即或解题回顾：（1）对本题的解法一，若是设z1=a+bi,z2=c+di,则a2+b2=1,c2+d2=1,再根据z1+z2=又得两个方程，这样，相当于解一个四元二次方程，变量设的太多，不利于解题，所以我们在解题时，注意巧设，尽量减少变量.(2)解法二由复数几何意义进行数形结合求解，是一种很重要的思维方法.［例3］（1）复数z满足｜z+5-12i｜=3,求z的轨迹；(2)复数z满足2｜z-3-3i｜=｜z｜,求z的轨迹；(3)已知｜z｜=2,试求z+3-4i对应点的轨迹.（1）解：由｜z-z0｜意义可知｜z+5-12i｜=3表示动点Z到定点Z0距离为定值3，故z轨迹为以（-5+12i）对应点为圆心，3为半径的圆.(2)解：本题由方程直接看不出z满足的条件，故可设z=x+yi(x、yR)∈，代入2｜z-3-3i｜=｜z｜得到方程为(x-4)2+(y-4)2=8.故z轨迹为以(4,4)为圆心，22为半径的圆.(3)解法一：设ω=z+3-4i,ω=x+yi(x,yR),z=∈a+bi(a、bR).∈∴x+yi=a+3+(b-4)i.∴即 a2+b2=4,(∴x-3)2+(y+4)2=4.故z轨迹为以(3,-4)为圆心，2为半径的圆.解法二：设ω=z+3-4i,则z=ω-3+4i. ｜z｜=2,∴｜ω-3+4i｜=2.故z轨迹为以3-4i对应点为圆心，2为半径的圆.解题回顾：（1）本题属于求轨迹问题.方法与我们解析几何中求轨迹方法一样，有直接法、代入法和消参法.（2）对于（3）题的两种解法均为代入法，从上述解法可看出，有时就用复数直接代入还是很方便的.［例4］已知｜｜z-(3-4i)｜-1｜=1且z≠3-4i.(1)求｜z｜的最大值和最小值；(2)求｜z-1｜2+｜z+1｜2的最大值和最小值.(1)分析：由｜z｜的几何意义可知，只需弄清z的轨迹即可.解法一： ｜｜z-(3-4i)｜-1｜=1且z≠3-4i,网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网2∴｜z-(3-4)i｜=2,z轨迹如图46,以z0=3-4i为圆心，2为半径的圆.图4-6故｜z｜max=2+9+16=7,｜z｜min=5-2=3.分析：由模的性质｜｜z1｜-｜z2｜｜≤｜z1+z2｜≤｜z1｜+｜z2｜知，只要存在λ使得z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ＞0有最大值，λ＜0有最小值)即可.解法二：｜z｜=｜［z-(3-4i)］+(3-4i)｜≤｜z-(3-4i)｜+｜3-4i｜≤2+5=7,当且仅当z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ＞0)时，等号成立. ｜z-(3-4i)｜=2,∴｜λ(3-4i)｜=2.∴，即当时，｜z｜max=7.又 ｜z｜=｜［z-(3-4i)］+(3-4i)｜≥｜｜z-(3-4i)｜-｜3-4i｜｜=｜2-5｜=3,当且仅当z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ＜0)时，等号成立，即.∴当时，｜z｜min=3.解题回顾：本题可拓宽到求｜z-z1｜的最值，...
