高中数学：解析几何中几个常见错误剖析VIP免费

解几中几个常见错误剖析解析几何是高中数学的重要内容，每年的高考中都占有较大的比重。本文试图对解析几何中的一些常见错误作简单剖析，希望引起同学们的注意。一、忽视斜率不存在导致错误例1已知过点（－4，0）作直线l与圆2224200xyxy交于A、B点，弦AB长为8，则直线l的方程为_______________________________________错解设直线l的方程为y=k（x+4）即kx－y+4k=0，由题意得2(1)2431kkk解得512k，所以直线l的方程为512200xy剖析上述解法未考虑直线l斜率不存在情形，从而导致错误。事实上，直线l斜率不存在时，弦AB长也为8。正解（1）直线l斜率不存在时，直线l的方程为x=－4，符合题意。（2）直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+4）即kx－y+4k=0，由题意得2(1)2431kkk解得512k，所以直线l的方程为512200xy综上所述直线l的方程为：x=－4或512200xy评注使用斜率求直线方程，题目中未给出斜率存在与否，需对斜率分存在与不存在讨论。二、忽视方程自身限制导致错误例2直线l经过P（2,3）,且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.错解设直线方程为:1byax,又过P(2,3),∴132ba,求得a=5∴直线方程为x+y-5=0.剖析直线方程的截距式:1byax的条件是:a≠0且b≠0,本题忽略了0ab这一情形.正解（1）当直线过(0,0)时,此时斜率为:230203k,∴直线方程为y=23x（2）当直线不过(0,0)时，设直线方程为:1byax,又过P(2,3),∴132ba,求得a=5∴直线方程为x+y-5=0.综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=23x.用心爱心专心三、忽视题目隐含条件导致错误例3已知在ABC中，BC=8,另两边长之差为6，求顶点A的轨迹方程错解以边BC所在直线为x轴，BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，因为68ABACBC，所以点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线，由已知得a=3,c=4，21697b，故顶点A的轨迹方程为22197xy剖析上述解法忽视了A、B、C为三角形的三个顶点，即A、B、C三点不能共线这一限制，从而导致结果错误正解以边BC所在直线为x轴，BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，因为68ABACBC，所以点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线，由已知得a=3,c=4，21697b，又由A、B、C三点不能共线知点A不能落在x轴上，所以顶点A的轨迹方程为221(0)97xyy评注解轨迹问题时，求出轨迹方程后，一定要考虑轨迹上的每一个点是不是都符合题意，即考虑轨迹方程的纯粹性，有没有多余的点.四、忽视曲线自身范围的制约导致错误例4设椭圆的中心是坐标原点，长轴x在轴上，离心率23e，已知点)23,0(P到这个椭圆上的最远距离是11，求这个椭圆的方程。错解依题意可设椭圆方程为)0(12222babyax则43122222222ababaace，所以4122ab，即.2ba设椭圆上的点),(yx到点P的距离为d，则222)23(yxd.34)21(3493)1(222222byyybya所以当21y时，2d有最大值，从而d也有最大值。22)11(34b，由此解得：.8,222ab于是所求椭圆的方程为.12822yx剖析本题错在由当21y时，2d有最大值，这步推理是错误的，没有考虑到y的取值范围。用心爱心专心事实上，由于点),(yx在椭圆上，所以有byb，因此在求2d的最大值时，应分类讨论。正解依题意可设椭圆方程为)0(12222babyax则43122222222ababaace，所以4122ab，即.2ba设椭圆上的点),(yx到点P的距离为d，则222)23(yxd.34)21(3493)1(222222byyybya若21b，则当by时，2d（从而d）有最大值。于是,)23()11(22b从而解得矛盾。与21,212311bb所以必有21b，此时当21y时，2d有最大值，从而22)11(34b，解得.8,222ab于是所求椭圆的方程为.12822yx评注用圆锥曲线方程研究圆锥曲线问题时，一定要考虑曲线自身范围的制约本文举了解几中几个常见错误，如果在运用解几知识时注意其前提条件，形与数紧密结合，形与数的对应既不扩大也不缩小，考虑问题全面严谨，这些错误即可避免。用心爱心专心