2.2超几何分布教学目标1．通过实例，理解超几何分布及其特点；2．通过对实例的分析，掌握超几何分布列及其导出过程，并能简单的应用．教学重点，难点:理解超几何分布的概念，超几何分布列的应用．教学过程一．问题情境1．情境：在产品质量管理中，常常通过抽样来分析合格品和不合格品的分布，进而分析产品质量．假定一批产品共N件，其中有M件不合格品，随机取出的n件产品中，不合格品数X的概率分布如何？2．问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？二．学生活动以100N，5M，10n为例，研究抽取10件产品中不合格品数X的概率分布．三．建构数学从100件产品中随机抽取10件有10100C种等可能基本事件．2X表示的随机事件是“取到2件不合格品和8件合格品”，依据分步计数原理有28595CC种基本事件，根据古典概型，2859510100(2)CCPXC．类似地，可以求得X取其他值时对应的随机事件的概率，从而得到不合格品数X的概率分布如下表所示：X012345P01059510100CCC1959510100CCC2859510100CCC3759510100CCC4659510100CCC5559510100CCC对一般情形，一批产品共N件，其中有M件不合格品，随机取出的n件产品中，不合格品数X的分布如下表所示：X012…lP0nMNMnNCCC11nMNMnNCCC22nMNMnNCCC…lnlMNMnNCCC其中min(,)lnM．www.ks5u.com一般地，若一个随机变量X的分布列为()rnrMNMnNCCPXrC，其中0r，1，2，3，…，l，min(,)lnM，则称X服从超几何分布，记为(,,)XHnMN，并将()rnrMNMnNCCPXrC记为(;,,)HrnMN．说明：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是M，N，n．四．数学运用1．例题：例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，（1）若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．（2）若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．解：（1）若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X表示取到的红球数，则X服从超几何分布(5,10,30)H．由公式得4541020530700(4;5,10,30)0.029523751CCHC，所以获一等奖的概率约为2.95%．（2）根据题意，设随机变量X表示“摸出红球的个数”，则X服从超几何分布(5,10,30)H，X的可能取值为0，1，2，3，4，5，根据公式可得至少摸到3个红球的概率为：324150102010201020555303030(3)(3)(4)(5)0.1912CCCCCCPXPXPXPXCCC，故中奖的概率为0.1912．例2．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X服从超几何分布(5,2,50)H．这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的箱或只有1箱不合格，所以被接收的概率为(1)PX，即0514248248555050243(1)245CCCCPXCC．答：该批产品被接收的概率是243245（约为0.99184）．www.ks5u.com说明：（1）在超几何分布中，只要知道N、M和n，就可以根据公式，求出X取不同m值时的概率()PXm，从而列出X的分布列．（2）一旦掌握了X的分布列，就可以算出相应试验的很多事件的概率，从而就完全掌握了该试验．思考：该批产品中出现不合格产品的概率是多少？例3．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为多少？解：设随机变量X表示“抽出中奖票的张数”，则X服从超几何分布(,2,50)Hn，根据公式可得至少有一张中奖的概率11222482485050(1)0.5nnnnCCCCPXCC，解得15n．答：n至少为15张．2．练习：课本第51页练习第1，2题．五．回顾小结：1．超几何分布的特点；2．超几何分布列的简单应用．六．课外作业：课本第52页习题2.2第4题．
