10.5二项式定理巩固·夯实基础一、自主梳理1.二项式定理(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Crnan-rbr+…+Cn-1nabn-1+Cnnbn.2.通项公式Tr+1=Crnan-rbr(r=0,1,2,…,n).3.展开式的特点:项数(共有n+1项);系数(第r+1项的二项式系数为Crn);指数(每一项a、b的指数之和都等于n;a的指数从n开始依次减1,直到0为止;b的指数从0开始依次加1,直到n为止).4.Crn=Cn-rn,Cmn+Cm-1n=Cmn+1,C0n+C1n+C2n+…+Cnn=2n,C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n+…=2n-1.5.若n是偶数,则中间项第+1项的二项式系数最大;若n是奇数,则中间两项第项和第+1项的二项式系数最大.二、点击双基1.(+)12的展开式中,含x的正整数次幂的项共有()A.4项B.3项C.2项D.1项解析:设第r+1项含x的正整数次幂,∴Tr+1=Cr12()12-r()r=Cr12,其中0≤r≤12.要使6-r为正整数,必须使r为6的倍数.∴r=0,6,12.答案:B2.在(x-1)(x+1)8的展开式中x5的系数是()A.-14B.14C.-28D.28解析:由题意知先求出(x+1)8展开式中x4、x5的系数分别为C48=70,C58=C38=56,注意第一个因式为(x-1),则题中x5的系数为70-56=14.答案:B3.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是()A.74B.121C.-74D.-121解析:x3项的系数为-(C35+C36+C37+C38)=-121.答案:D4.(2-)6展开式中的常数项是______________.(用数字作答)解析:设r+1项为常数项,则Tr+1=Cr6(2×)6-r(-x-1)r=Cr626-r(-1)r.令3-r=0,r=2.∴常数项为C2624(-1)2=240.答案:2405.在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6展开式中,x2项的系数是____________________.(用数字作答)用心爱心专心1解析:由题意知有C22+C23+C24+C25+C26=C33+C23+C24+C25+C26=C37==35.答案:35诱思·实例点拨【例1】在(-)8的展开式中常数项是()A.-28B.-7C.7D.28剖析:利用二项展开式的通项公式,令x的指数为0,求得r的值.解:Tr+1=(-1)rCr8()8-r·=(-1)rCr8·2r-8·令8-r=0,得r=6.∴T7=T6+1=C68·26-8=C28·2-2=7.答案:C讲评:求指定项(常数项、中间项、最大项、有理项等)的关键在于通项变形,列出条件关系式,像本题在(-)8的展开式中,a=,b=-,通项公式为Tr+1=Cr8()8-r(-)r,r=0,1,2,…,8.对通项变形、整理为关于x的单项式,从而求解.【例2】在(x2+3x+2)5的展开式中,x的系数是…()A.160B.240C.360D.800剖析:将三项式转化为二项式求解,有两条途径:(1)x2+3x+2=(x2+3x)+2;(2)(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5.解:(x2+3x+2)5=［(x2+3x)+2］5,通项为Ck5(x2+3x)5-k2k(0≤k≤5).该通项的通项为Ck52kCr5-k3rx10-2k-r(0≤r≤5-k).令10-2k-r=1,即2k+r=9.∴r=1,k=4.∴x的系数为C4524·3=240.答案:B讲评:此解法是把三项式转化为二项式求解,这是处理非二项式的一般方法.链接·提示此题也可以从以下两个角度来思考:1.也可把三项式转化为两个二项式乘积来求解:(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5,其x的系数为C45·14·C55·25+C55·15·C45·24.2.(x2+3x+2)5是五个三项式相乘,从其中1个三项式中取3x,从另外4个三项式中取常数项,相乘即得x的一次项.【例3】设(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,求:(1)a0+a1+a2+a3+a4;(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|;(3)a1+a3+a5;(4)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2.剖析:(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5为关于x的恒等式,求系数和的问题可用赋值法解决.用心爱心专心2解:设f(x)=(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则f(1)=a0+a1+a2+…+a5=1,f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5=(-3)5=-243.(1)∵a5=25=32,∴a0+a1+a2+a3+a4=f(1)-32=-31.(2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=-a0+a1-a2+a3-a4+a5=-f(-1)=243.(3)∵f(1)-f(-1)=2(a1+a3+a5),∴a1+a3+a5==122.(4)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2=(a0+a1+a2+a3+a4+a5)(a0-a1+a2-a3+a4-a5)=f(1)×f(-1)=243.讲评:本题是关于二项展开式各项系数的常见问题,应掌握f(1)及f(-1)的含义,其中借助f(1)求各项系数之和是最常用的办法.用心爱心专心3
