8.4直线与圆锥曲线的位置关系巩固·夯实基础一、自主梳理已知直线l:Ax+By+C=0与圆锥曲线C：f(x,y)=0.1.方程组解的组数即为l与C的交点的个数；方程组的解就是l与C的交点的坐标.2.若l与C有两个交点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，则线段P1P2为直线被圆锥曲线截得的弦，其弦长|P1P2|==|x1-x2|.其中k为直线l的斜率.3.中点坐标公式：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则线段AB的中点M(x0,y0)的坐标满足：4.弦差法求直线的斜率若曲线为mx2+ny2=1(m≠0,n≠0),则由m(x12-x22)+n(y12-y22)=0k==-.二、点击双基1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作一条直线l交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则等于()A.-4B.4C.-p2D.p2解析：特殊值法.设l的方程为x=,则x1=x2=.∴y1=-y2=p.∴==-4.答案：A2.已知双曲线-=1与直线y=2x有交点，则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,)B.(1,)∪(，+∞)C.(，+∞)D.［,+∞］解析：双曲线的渐近线的斜率k=，要使双曲线-=1和直线y=2x有交点，只要满足>2即可，∴>2.∴>2.∴e>.用心爱心专心1答案：C3.已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为()A.3B.2C.D.解析：依题设弦端点A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x12+2y12=4,x22+2y22=4.∴x12-x22=-2(y12-y22).∴此弦斜率k==-=-.∴此弦直线方程为y-1=-(x-1),即y=-x+代入x2+2y2=4,整理得3x2-6x+1=0.∴x1·x2=,x1+x2=2.∴|AB|=·=·=.答案：C4.已知(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是______________.解析：设直线l与椭圆交于P1(x1,y1)、P2(x2,y2),将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k==-=-=-=-.由点斜式可得l的方程为x+2y-8=0.答案：x+2y-8=05.过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=8,O为坐标原点，则△OAB的重心的横坐标为______________________________.解析：由题意知抛物线焦点F(1,0).设过焦点F(1,0)的直线为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).代入抛物线方程消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.∵k2≠0,∴x1+x2=,x1x2=1.∵|AB|==用心爱心专心2==8,∴k2=1.∴△OAB的重心的横坐标为x==2.答案：2诱思·实例点拨【例1】已知直线l:y=tanα(x+2)交椭圆x2+9y2=9于A、B两点，若α为l的倾斜角，且|AB|的长不小于短轴的长，求α的取值范围.剖析：确定某一变量的取值范围，应设法建立关于这一变量的不等式，题设中已经明确给定弦长≥2b,最后可归结为计算弦长求解不等式的问题.解：将l方程与椭圆方程联立，消去y,得(1+9tan2α)x2+36tan2α·x+72tan2α-9=0,∴|AB|=|x2-x1|=·=.由|AB|≥2,得tan2α≤,∴-≤tanα≤.∴α的取值范围是［0,］∪［,π］.讲评：考查直线与椭圆相交所得弦长的范围，对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用.本题由于l的方程由tanα给出，所以可以认定α≠,否则涉及弦长计算时，还应讨论α=时的情况.【例2】讨论直线l:y=kx+1与双曲线C：x2-y2=1的公共点的个数.剖析：直线与圆锥曲线公共点的个数问题的讨论实际上是相应方程组的解的问题.解：联立直线和双曲线方程消去y得(1-k2)x2-2kx-2=0.当1-k2=0,即k=±1时，x=1.当1-k2≠0,即k≠±1时，Δ=4k2+8(1-k2)=8-4k2.由Δ>0得-.所以当k∈(-,-1)∪(-1,1)∪(1,)时，直线l与双曲线C相交于两点;用心爱心专心3当k=±时，直线l与双曲线C相切于一点；当k=±1时，直线l与双曲线C相交于一点;当k∈(-∞,-)∪(,+∞)时，直线l与双曲线C没有公共点，直线l与双曲线C相离.讲评：该题讨论了过定点(0,1)的直线系与等轴双曲线的位置关系.按1-k2是否等于0来分类讨论.容易犯的两个错误：一是不讨论二次项系数为零的情况；二是讨论判别式时，丢掉前提条件二次项系数不为零.【例3】如图，点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.剖析：(1)由⊥，得·=0和椭圆方程联立出方程组求出点P的坐标.(2)利用函数思想方法，求出d2的最小值.解：(1)由已知可得点A(-6,0)、F(4,0).设点P的坐标是(x,y)，则=(x+6,y),=(x-4,y).由已知得则2x2+9x-18=0,x=或x=-6.由于y>0,只能x=,于是y=.所以点P的坐标是(,).(2)直线AP的方程是x-y+6=0，设点M的坐标是(m,0)，则M到直线AP的距离是，于是=|m-6|.又-6≤m≤6，解得m=2.椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-x2=(x-)2+15.由于-6≤x≤6,∴当x=时，d取得最小值.讲评：方程组、函数的思想方法在解决平面解析几何中有着非常重要的作用.用心爱心专心4
