2.3函数的单调性巩固·夯实基础一、自主梳理1.单调性的定义设函数f(x)的定义域为I:如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1、x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.2.判断函数单调性的方法(1)定义法.(2)利用基本函数的单调性,如:二次函数y=x2-2x在(-∞,1)上是减函数.(3)利用复合函数同增异减这个结论判断.(4)利用函数图象上升增下降减进行判断.另外利用导数值的符号也能判断函数的单调性.二、点击双基1．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是()A.y=-x+1B.y=C.y=x2-4x+5D.y=答案:B2．函数y=loga(x2+2x-3)，当x=2时，y＞0，则此函数的单调递减区间是()A.(-∞，-3)B.(1，+∞)C.(-∞，-1)D.(-1，+∞)解析:当x=2时，y=loga5＞0，∴A＞1.由x2+2x-3＞0x＜-3或x＞1，易见函数t=x2+2x-3在(-∞，-3)上递减，故函数y=loga(x2+2x-3)(其中a＞1)也在(-∞，-3)上递减.答案:A3．若函数f(x)=,则该函数在(-∞,+∞)上是()A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值解析：由于u(x)=2x+1在R上递增且大于1,则f(x)=在R上递减,无最小值,选A.答案：A4．函数y=lgsin(-2x)的单调增区间是()A.(kπ-,kπ-)(k∈Z)B.［kπ-,kπ+］(k∈Z)C.(kπ-,kπ-)(k∈Z)D.［kπ-,kπ+］(k∈Z)解析:令y=lgμ,μ=sin(-2x).根据复合函数单调区间的求法,只需使2kπ+≤-2x<2kπ+π即可.∴-kπ-0)在x∈(-1,1)上的单调性.解:设-10,x1x2+1>0,(x12-1)(x22-1)>0.又a>0，∴f(x1)-f(x2)>0,函数f(x)在(-1，1)上为减函数.【例3】求函数y=x+的单调区间.剖析:求函数的单调区间(亦即判断函数的单调性)，一般有三种方法:(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用y=x与y=的单调性(一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f(x2)-f(x1)的正负.解:首先确定定义域:{x|x≠0},∴在(-∞,0)和(0，+∞)两个区间上分别讨论.任取x1、x2∈(0,+∞)且x10,∴f(x2)-f(x1)>0为增函数.同理可求(3)当x1、x2∈(-1,0)时，为减函数;(4)当x1、x2∈(-∞,-1)时，为增函数.讲评:解答本题易出现以下错误结论:f(x)在(-1，0）∪(0，1）上是减函数，在(-∞,-1)∪(1,+∞)上是增函数，或说f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是单调函数.避免错误的关键是要正确理解函数的单调性概念:函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.链接·拓展求函数y=x+(a>0)的单调区间.提示:函数定义域x≠0，可先考虑在(0,+∞)上函数的单调性，再根据奇偶性与单调性的关系得到在(-∞,0)上的单调性.答案:在(-∞,-)，(,+∞)上是增函数，在(0,),(-,0)上是减函数.【例4】（2004北京东城模拟）已知定义在R上的函数f(x)对任意的实数x1、x2满足关系f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2.(1)证明f(x)的图象关于点(0,-2)成中心对称图形;(2)若x>0,则有f(x)>-2,求证:f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.剖析:对于(1),只要证明=-2即可;对于(2),注意到f(x)是抽象函数,欲证单调性,需对f(x)进行适当的变形.证明:(1)令x1=x2=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)+2,所以f(0)=-2.对任意实数x,...
