6.7不等式的综合问题巩固·夯实基础一、自主梳理1.方程与不等式、函数与不等式、解析几何与不等式的综合问题.2.解决上述问题的关键是找出综合题的各部分知识点及解法，充分利用数学思想和数学方法求解.二、点击双基1.(理)若＜＜0，则下列不等式中，正确的不等式有()①a+b＜ab②|a|＞|b|③a＜b④+＞2A.1个B.2个C.3个D.4个解析：∵＜＜0,∴b＜a＜0.∴故①正确,②③错误.∵a、b同号且a≠b,∴、均为正.∴+＞2=2.故④正确.∴正确的不等式有2个.答案：B(文)不等式|1-|>2的解集是…()A.{x|-1}C.{x|x>-1}D.{x|-12,∴-1>2或-1<-2,>3或<-1.∴0ab>ab2B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2D.ab>ab2>a解析：特殊值.a=-1,b=-,ab=,ab2=-.故ab>ab2>a.答案：D3.设a、b∈R，给出下列条件：①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出“a、b中至少有一个数大于1”的条件是()A.②③B.①②③C.③④⑤D.③用心爱心专心1解析：a=b=a+b>1,否定①.a=b=1a+b=2,否定②,④显然错.a=-2,b=-1ab>1,否定⑤.答案：D4.若规定=|ad-bc|,则不等式<0的解集为________.解析：<0|x-1|<00<|x-1|<104的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a、b;(2)解不等式>0(c为常数).解：(1)由题知1、b为方程ax2-3x+2=0的两根，即∴a=1,b=2.(2)不等式等价于(x-c)(x-2)>0,当c>2时解集为{x|x>c或x<2};当c<2时解集为{x|x>2或xb>c,故1>->c-3b>c,得-30.∴f(m-4)的符号为正.【例3】已知抛物线y=ax2-1上存在关于直线l:x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围.解法一：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P(x1，y1)、Q(x2,y2),线段PQ的中点为M(x0,y0),设直线PQ的方程为y=x+b,由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，即得方程ax2-x-(1+b)=0.①判别式Δ=1+4a(1+b)＞0.②由①得x0==,y0=x0+b=+b.∵M∈l,∴0=x0+y0=++b,即b=-,代入②解得a＞.解法二：设同解法一，由题意得将①②代入③④，并注意到a≠0,x1-x2≠0,得由二元均值不等式易得2(x12+x22)＞(x1+x2)2(x1≠x2).将⑤⑥代入上式得2(-+)＞()2,解得a＞.解法三：同解法二，由①-②，得y1-y2=a(x1+x2)(x1-x2).∵x1-x2≠0,∴a(x1+x2)==1.∴x0==.∵M(x0,y0)∈l,∴y0+x0=0,即y0=-x0=-,从而PQ的中点M的坐标为（,-）.∵M在抛物线内部，∴a()2-(-)-1＜0.解得a＞.(舍去a＜0，为什么?)用心爱心专心3链接·聚焦解法三中为何舍去a<0?这是因为a<0,中点M(x0,y0),x0=<0,y0=->0.又∵a<0,y=ax2-1<0,矛盾,∴a<0舍去.用心爱心专心4
