导数一．要点精讲1．导数的概念函数y=f(x)，如果自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应地有增量=f(x0+Δx)－f(x0)，比值叫做函数y=f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率，即=。如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作f’(x0)或y’|。即f(x0)==。说明：(1)函数f(x)在点x0处可导，是指Δx→0时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。(2)Δx是自变量x在x0处的改变量，Δx≠0时，而Δy是函数值的改变量，可以是零。2．导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0))处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0))处的切线的斜率是f’(x0)。相应地，切线方程为y－y0=f’(x0)(x－x0)。3．常见函数的导出公式．(1)(C)’=0(C为常数)(2)(xn)’=n∙xn-1(3)(ex)’=ex(4)(sinx)’=cosx(5)(cosx)’=-sinx(6)(lnx)’=4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(u±v)’=u’±v’。法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：(u∙v)’=u’∙v+u∙v’。若C为常数，则(Cu)’=C’u+Cu’=Cu’。即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：(Cu)’=Cu’。法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：=(v0)。形如y=f[φ(x)]的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y’|x=y’|φ·φ’|x5．导数的应用(1)一般地，设函数y=f(x)在某个区间可导，如果f’(x)>0，则f(x)为增函数；如果f’(x)<0，则f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f’(x)=0，则f(x)为常数；(2)曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；(3)一般地，在区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值。①求函数f(x)在(a,b)内的极值；②求函数f(x)在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数f(x)的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。二．典例解析题型1：导数的概念例1．已知s=，(1)计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒….各段内平均速度；(2)求t=3秒是瞬时速度。1例2．求函数y=的导数。题型2：导数的基本运算例3．(1)求的导数；(2)求的导数；(3)求的导数；(4)求y=的导数；(5)求y＝的导数。例4．写出由下列函数复合而成的函数：(1)y=cosu，u=1+x2(2)y=lnu，u=lnx(3)y=e2x(4)y=eu，u=x2题型3：导数的几何意义例5．(1)若曲线y=x4的一条切线与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为A．4x-y-3=0B．x+4y-5=0C．4x-y+3=0D．x+4y+3=0(2)过点(－1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为()(A)2x+y+2=0(B)3x-y+3=0(C)x+y+1=0(D)x-y+1=0例6．(1)半径为r的圆的面积S(r)＝πr2,周长C(r)=2πr，若将r看作(0,＋∞)上的变量，则(πr2)’＝2πr①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0,＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：②；②式可以用语言叙述为：。(2)曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是。题型4：借助导数处理单调性、极值和最值例7．(1)对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f’(x)0，则必有()A.f(0)＋f(2)2f(1)B.f(0)＋f(2)2f(1)C.f(0)＋f(2)2f(1)D.f(0)＋f(2)2f(1)(2)函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数2f’(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个(3)已知函数。(I)设，讨论y=f(x)的单调性；(II)若对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1，求a的取值范围。例8．(1)在区间上的最大值是()(A)－2(B)0(C)2(D)4(2)设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1，其中a≥1。(I)求f(x)的单调区间；(II)讨论f(x)的极值。3题型5：导数综合题例9．设函数f(x)=-x3+3x+2分别在x1、x2处取得极小值、极大值。xoy平面上点A、B的坐标分别为(x1,f(x1))、(x2,f...
