第四章导数应用4．1．1函数的单调性与导数（一）一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.三、教学过程（一）复习引入1．增函数、减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．2．函数的单调性如果函数y＝f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间．在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．例1讨论函数y＝x2－4x＋3的单调性．解：取x1＜x2，x1、x2∈R，取值f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3)作差＝(x1－x2)(x1＋x2－4)变形当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)，定号∴y＝f(x)在(－¥,2)单调递减．判断当2＜x1＜x2时，x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)，∴y＝f(x)在(2,＋∞)单调递增．综上所述y＝f(x)在(－¥,2)单调递减，y＝f(x)在(2,＋∞)单调递增。能否利用导数的符号来判断函数单调性？一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f(x)'＞0，则f(x)为增函数；如果f(x)'＜0，则f(x)为减函数．例2．教材P24面的例1。例3．确定函数f(x)＝x2－2x＋4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．解：f(x)'＝2x－2．令2x－2＞0，解得x＞1．因此，当x∈(1,+∞)时，f(x)是增函数．令2x－2＜0，解得x＜1．因此，当x∈(－∞,1)时，f(x)是减函数．例4．确定函数f(x)＝2x3－6x2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．解：f(x)'＝6x2－12x．令6x2－12x＞0，解得x＜0或x＞2．因此，当x∈(－∞,0)时，函数f(x)是增函数，当x∈(2,＋∞)时，f(x)也是增函数．令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2．131第四章《导数应用》因此，当x∈(0,2)时，f(x)是减函数．利用导数确定函数的单调性的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求出函数的导数；(3)解不等式f¢(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f¢(x)＜0，得函数的单调递减区间．练习1：教材的例2利用导数的符号来判断函数单调性:设函数y＝f(x)在某个区间内可导(1)如果f'(x)＞0，则f(x)为严格增函数；(2)如果f'(x)＜0，则f(x)为严格减函数．思考：（1）若f'(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的什么条件？若f'(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的充分而非必要条件．例如f(x)＝x3，当x=0，f'(x)=0，x≠0时，f'(x)>0，函数f(x)＝x3在(－∞,＋∞)上是增函数．（2）若f'(x)＝0在某个区间内恒成立，f(x)是什么函数？若某个区间内恒有f'(x)＝0，则f(x)为常数函数．教科书练习(1)（三）课堂小结1．判断函数的单调性的方法；2．导数与单调性的关系；3．证明单调性的方法.（四）《习案》作业七4．1．1函数的单调性与导数（二）一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.三、教学过程（一）复习1．确定下列函数的单调区间：⑴y＝x3－9x2＋24x；⑵y＝x－x3．（4）f(x)＝2x3－9x2＋12x－32．讨论二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的单调区间．3．在区间(a,b)内f'(x)＞0是f(x)在(a,b)内单调递增的(A)A．充分而不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（二）举例例1．求下列函数的单调区间(1)f(x)＝x－lnx(x＞0)；(2))253log()(2xxxf(3)32)1)(12(xxy.（4）)3ln()(bxxf（b>0）（5）判断)lg()(2xxxf的单调性。分三种方法：（定义法）（复合函数）（导数）132例2．（1）求函数3223211()32yxaaxaxa的单调减区间.（2）讨论函数2()(11,0)1bxfxxbx的单调性.（3）设函数f(x)=ax–(a+1)ln(x+1)，其中a≥–1，求f(x)的单调区间.（1）解：y...
